Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 11 класс

Сумма положительных чисел $a, b, c$ равна 1. Докажите, что выполняется неравенство $abc \leq (ab + bc + ac)(a^2 + b^2 + c^2 )^2 .$

Комментарий/решение

Нужно доказать, что $A=(a^2 + b^2 + c^2 )^2(ab + bc + ca) \geqslant abc$

Используя $\sqrt{\cfrac{a^2+b^2+c^2}{3}} \geqslant \cfrac{a+b+c}{3}$ и $a+b+c=1$ получим $(a^2 + b^2 + c^2 )^2 \geqslant \cfrac{1}{9}$. Следовательно, $A \geqslant \cfrac{1}{9}(ab + bc + ca)$, и, чтобы решить задачу, остается показать $\cfrac{1}{9}(ab + bc + ca) \geqslant abc$. А это эквивалентно следующим известным неравенствам:

$$\cfrac{1}{3} \geqslant \cfrac{3abc}{ab + bc + ca} \ \Leftrightarrow \ \cfrac{a+b+c}{3} \geqslant \cfrac{3}{\cfrac{1}{a} + \cfrac{1}{b} + \cfrac{1}{c}}.$$

Выше мы использовали b_Неравенство о средних._b Для положительных чисел $a_1$, $\ldots$, $a_n$ верны неравенства между средним гармоническим, геометрическим, арифметическим и квадратическим:

$$\dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1} + \ldots + \dfrac{1}{a_n}} \le \sqrt[n]{a_1 \ldots a_n} \le \dfrac{a_1 + \ldots + a_n}{n} \le \sqrt{\dfrac{a_1^2 + \ldots + a_n^2}{n}}. $$