Processing math: 15%

Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 11 класс


Сумма положительных чисел a,b,c равна 1. Докажите, что выполняется неравенство abc(ab+bc+ac)(a2+b2+c2)2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
8 года 9 месяца назад #

Нужно доказать, что A=(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca)

Используя \sqrt{\cfrac{a^2+b^2+c^2}{3}} \geqslant \cfrac{a+b+c}{3} и a+b+c=1 получим (a^2 + b^2 + c^2 )^2 \geqslant \cfrac{1}{9}. Следовательно, A \geqslant \cfrac{1}{9}(ab + bc + ca), и, чтобы решить задачу, остается показать \cfrac{1}{9}(ab + bc + ca) \geqslant abc. А это эквивалентно следующим известным неравенствам:

\cfrac{1}{3} \geqslant \cfrac{3abc}{ab + bc + ca} \ \Leftrightarrow \ \cfrac{a+b+c}{3} \geqslant \cfrac{3}{\cfrac{1}{a} + \cfrac{1}{b} + \cfrac{1}{c}}.

Выше мы использовали b_Неравенство о средних._b Для положительных чисел a_1, \ldots, a_n верны неравенства между средним гармоническим, геометрическим, арифметическим и квадратическим:

\dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1} + \ldots + \dfrac{1}{a_n}} \le \sqrt[n]{a_1 \ldots a_n} \le \dfrac{a_1 + \ldots + a_n}{n} \le \sqrt{\dfrac{a_1^2 + \ldots + a_n^2}{n}}.