Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 11 класс

Опишите все треугольники $ABC$, для которых справедливо равенство $AB+CK=AC+BL$, где $CK$ и $BL$ – высоты треугольника.

Комментарий/решение

Пусть $b=AC$, $ c=AB$ , $ h=CK$, $ h'=BL$, тогда $bh'=ch$, но в то же время $b+h'=c+h$, отсюда $h'=c-b+h$ , подмтавляя в основное равенство ,преобразуя, получим $( h-b )( b-c )=0$ . В случае $ b=c$ треугольник равнобедренный. Рассмотрим случай $h=b$. Тогда $ h'=c$, $S_ABC=ch/2=cb/2=cb *sinA/2$, из этого следует, что угол $A$ равен 90.

Ответ:равнобедренные и прямоугольные треугольники