Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 11 класс

Обозначим через $s = 1!(1^2 + 1 + 1) + 2!(2^2 + 2 + 1) + \dots + 2011!(2011^2 + 2011 + 1).$ Вычислите значение выражения $\dfrac{{s + 1}}{{2012!}}$.

Комментарий/решение

Преобразуем каждое слагаемое в

$1!(1^2+1+1) = 2!+1! \ \\ 2!(2^2+2+1) = 2 \cdot 3!+2!\\...\\2011!(2011^2+2011+1) = 2011 \cdot 2012!+2011$

Получим $s+1= 2!+1!+3! \cdot 2+2!+4! \cdot 3+3! + 5! \cdot 4+4! + 6! \cdot 5+5!+...+ 2011 \cdot 2012!+2011!+1$

$2!+2!+3! \cdot (4-2)+2!+4! \cdot (5-2)+3!+5! \cdot (6-2)+4! + 6! \cdot (7-2)+5!+...+2012! \cdot (2013-2)$

Получим

$$2!+1!+4!-2 \cdot 3!+2!+4! \cdot 5-4! \cdot 2+3!+6!-2 \cdot 5!+4!+7!-2 \cdot 6!+5!+...+2013!-2 \cdot 2012!+1$$

Заметим что все слагаемые сокращаться , кроме $2013!-2012!$ то есть

$\dfrac{2013!-2012!}{2012!}=2012$