Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 11 класс

Все семизначные числа, содержащие в своей десятичной записи каждую из цифр 1,2,3,4,5,6,7 ровно по одному разу, пронумерованы по возрастанию (число 1234567 имеет номер 1). Какой номер имеет число 3654721?

Комментарий/решение

Заметим, что цифры для записи числа $\overline{a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0}$ используются по одному разу, значит все такие числа можно получить h_перестановкой@https://ru.wikipedia.org/wiki/Перестановка_h.

Количество чисел вида $\overline{1a_5a_4a_3a_2a_1a_0}$ равно $P_6=6!$,

количество чисел вида $\overline{2a_5a_4a_3a_2a_1a_0}$ равно $P_6=6!$,

количество чисел вида $\overline{31a_4a_3a_2a_1a_0}$ равно $P_5=5!$,

количество чисел вида $\overline{32a_4a_3a_2a_1a_0}$ равно $P_5=5!$,

количество чисел вида $\overline{34a_4a_3a_2a_1a_0}$ равно $P_5=5!$,

количество чисел вида $\overline{35a_4a_3a_2a_1a_0}$ равно $P_5=5!$,

количество чисел вида $\overline{361a_3a_2a_1a_0}$ равно $P_4=4!$,

количество чисел вида $\overline{362a_3a_2a_1a_0}$ равно $P_4=4!$,

количество чисел вида $\overline{364a_3a_2a_1a_0}$ равно $P_4=4!$,

количество чисел вида $\overline{3651a_2a_1a_0}$ равно $P_3=3!$,

количество чисел вида $\overline{3652a_2a_1a_0}$ равно $P_3=3!$,

количество чисел вида $\overline{36541a_1a_0}$ равно $P_2=2!$,

количество чисел вида $\overline{36542a_1a_0}$ равно $P_2=2!$,

количество чисел вида $\overline{365471a_0}$ равно $P_1=1!$,

количество чисел вида $\overline{365472a_0}$ равно $P_1=1!$.

Число $3654721$ имеет номер $2\cdot 6!+4\cdot 5! + 3\cdot 4! +2\cdot 3!+2\cdot 2!+2\cdot 1! = 2010$