Математикадан аудандық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 11 сынып

Төрт есеп шешуге берілген математикалық олимпиадада 25 оқушы қатысады. Әрбір есеп шешілген не шешілмеген(бөлігін шығарды деген қарастырылмайды) болып есептеледі. Төртеуі де ортақ бір есепті шығарған(немесе төртеуі ешбір есеп шығармаған) төрт оқушы табылатынын немесе бірінің шығармаған есептерін бірі шығарған екі оқушы табылатынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Всего 15 вариантов решений. Если они все встретятся, то среди них легко найти два противоположных решения. Чтобы они противоположных решений не было, нужно сделать так: взять какое нибудь решение и убрать его противоположность. Тогда количество решений сузится до 8. $25=8×3+1$, а значит, что в таком случае обязательно найдется 4 одинаковых решения.