Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2016 год

Задача №1. Последовательность

$(a_n)$ задана условиями

$a_1=0$ ,

${a_{n + 1}} = \dfrac{{{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}}}{n} + 1.$ Докажите, что

$a_{2016}>{1\over 2}+a_{1000}$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Задача №2. На одной из клеток клетчатой плоскости стоит кубик. На каждой грани кубика нарисована стрелочка в одном из четырёх направлений, параллельных сторонам грани. Антон смотрит на кубик сверху и перекатывает его через ребро в направлении, указанном стрелкой, нарисованной на верхней грани. Докажите, что кубик никогда не заметет никакого квадрата

$5\times 5$ . ( А. Чухнов )
комментарий/решение

Задача №3. Высоты

$AA_1$ ,

$BB_1$ ,

$CC_1$ остроугольного треугольника

$ABC$ пересекаются в точке

$H$ . Точки

$A_0$ ,

$B_0$ ,

$C_0$ -- середины сторон

$BC$ ,

$CA$ и

$AB$ соответственно. На отрезках

$AH$ ,

$BH$ и

$HC_1$ отмечены точки

$A_2$ ,

$B_2$ ,

$C_2$ соответственно, такие что

$\angle A_0B_2A_2 = \angle B_0C_2B_2 = \angle C_0A_2C_2 =90^\circ$ . Докажите, что прямые

$AC_2$ ,

$BA_2$ и

$CB_2$ пересекаются в одной точке. ( А. Пастор )
комментарий/решение(1)

Задача №4. При каждом натуральном

$k$ найдите число решений уравнения

$8^k = x^3+y^3+z^3-3xyz$ в неотрицательных целых числах

$x$ ,

$y$ ,

$z$ , причем

$0\!\leq\! x \!\leq\! y\!\leq\! z$ . ( В. Шевелёв )
комментарий/решение(2)

Задача №5. Простые числа

$p$ и

$q$ отличаются не более чем в два раза. Докажите, что найдутся такие два последовательных натуральных числа, что у одного из них наибольший простой делитель равен

$p$ , а у другого --

$q$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №6. Числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ таковы, что

$0 < a \leq b \leq d \leq c$ и

$a+c=b+d$ . Докажите, что для любой внутренней точки

$P$ отрезка длины

$a$ этот отрезок является стороной описанного четырёхугольника с последовательными сторонами

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ , вписанная окружность которого проходит через точку

$P$ . ( Л. Емельянов )
комментарий/решение

Задача №7. Докажите, что при

$x$ ,

$y$ ,

$z > {3\over 2}$ выполнено неравенство

${x^{24}} + {\rm{ }}\sqrt[5]{{{y^{60}} + {z^{40}}}} \ge {\left( {{x^4}{y^3} + \frac{1}{3}{y^2}{z^2} + \frac{1}{9}{x^3}{z^3}} \right)^2}.$ ( К. Кохась )
комментарий/решение(1)

Задача №8. Дан связный граф. Докажите, что можно раскрасить все его вершины в синий и зелёный цвета и отметить в нём некоторые рёбра так, чтобы каждые две вершины были соединены путём из отмеченных рёбер, каждое отмеченное ребро соединяло вершины разных цветов и никакие две зелёные вершины не были соединены ребром исходного графа. ( В. Дольников )
комментарий/решение