Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2012 год

Задача №1. Таня и Серёжа по очереди ставят фишки на свободные клетки шахматной доски. Первым ходом Таня ставит фишку на любую клетку доски. Каждым следующим ходом Серёжа должен ставить фишку в тот столбец, куда только что походила Таня, а Таня — в ту строку, куда только что походил Серёжа. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дан прямоугольник

$ABCD$ . На луче

$DC$ отложен отрезок

$DK$ , равный

$BD$ . Точка

$M$ — середина отрезка

$BK$ . Докажите, что

$AM$ — биссектриса угла

$BAC$ . ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Докажите, что произвольные

$N^2$ попарно различных натуральных чисел (

$N > 10$ ) можно расположить в таблице

$N\times N$ так, чтобы все

$2N$ сумм по строкам и по столбцам были различны. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение

Задача №4. Пусть

$p=1601$ (простое число), а

$m\over n$ — несократимая дробь, равная сумме тех из дробей

${1\over 0^2+1},\quad{1\over 1^2+1},\quad\dots,\quad{1\over (p-1)^2+1},$ знаменатели которых не делятся на

$p$ . Докажите, что

$2m+n$ делится на

$p$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Вершины правильного 2012-угольника обозначены буквами

$A_1$ ,

$A_2$ ,

$\dots$

$A_{2012}$ в некотором порядке. Известно, что если

$k+l$ и

$m+n$ дают одинаковые остатки при делении на 2012, то хорды

$A_kA_l$ и

$A_mA_n$ не имеют общих точек. Вася идет вокруг многоугольника, и видит, что первые две вершины обозначены

$A_1$ и

$A_4$ . Как обозначена десятая по ходу вершина? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №6. Решите уравнение

${1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}$ в натуральных числах. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Задача №7. Внутри выпуклого четырехугольника с последовательными сторонами 3, 6, 5, 8 расположен круг. Докажите, что его радиус меньше 3. ( К. Кохась )
комментарий/решение(1)

Задача №8. В ряд стоит 25 осликов, самый правый из них — Иа-Иа. Винни Пух хочет дать каждому ослику воздушный шарик одного из семи цветов радуги так, чтобы стоящие рядом ослики получили шарики разного цвета и шарик каждого цвета хоть кто-нибудь да получил бы. Иа-Иа хочет подарить каждому из 24 других осликов горшок одного из цветов радуги (кроме зеленого) так, чтобы горшок каждого цвета хоть кто-нибудь да получил бы (но соседи могут получать и одноцветные горшки). У кого из друзей больше способов осуществить задуманное и во сколько раз?
комментарий/решение