қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2012 год
Задача №1. Таня и Серёжа по очереди ставят фишки на свободные
клетки шахматной доски. Первым ходом Таня ставит фишку на любую клетку доски.
Каждым следующим ходом Серёжа должен ставить фишку в тот столбец, куда только что
походила Таня, а Таня — в ту строку, куда только что походил Серёжа.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Дан прямоугольник $ABCD$. На луче $DC$ отложен отрезок $DK$,
равный $BD$. Точка $M$ — середина отрезка $BK$. Докажите, что
$AM$ — биссектриса угла $BAC$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Докажите, что произвольные $N^2$ попарно различных натуральных чисел ($N > 10$) можно расположить в таблице $N\times N$ так,
чтобы все $2N$ сумм по строкам и по столбцам были различны.
(
С. Волчёнков
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Пусть $p=1601$ (простое число), а $m\over n$ — несократимая дробь, равная сумме тех из дробей
$${1\over 0^2+1},\quad{1\over 1^2+1},\quad\dots,\quad{1\over (p-1)^2+1},$$
знаменатели которых не делятся на $p$.
Докажите, что $2m+n$ делится на $p$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Вершины правильного 2012-угольника обозначены буквами $A_1$, $A_2$, $\dots$ $A_{2012}$ в некотором порядке.
Известно, что если $k+l$ и $m+n$ дают одинаковые остатки при делении на 2012, то хорды $A_kA_l$ и $A_mA_n$ не имеют общих точек.
Вася идет вокруг многоугольника, и видит, что первые две вершины обозначены $A_1$ и $A_4$. Как обозначена десятая по ходу вершина?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Решите уравнение
${1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}$
в натуральных числах.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №7. Внутри выпуклого четырехугольника с последовательными сторонами 3, 6, 5, 8
расположен круг. Докажите, что его радиус меньше 3.
(
К. Кохась
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. В ряд стоит 25 осликов, самый правый из них — Иа-Иа. Винни Пух хочет дать
каждому ослику воздушный шарик одного из семи цветов радуги так, чтобы
стоящие рядом ослики получили шарики разного цвета и шарик каждого
цвета хоть кто-нибудь да получил бы. Иа-Иа хочет
подарить каждому из 24 других
осликов горшок одного из цветов радуги (кроме зеленого)
так, чтобы горшок каждого цвета
хоть кто-нибудь да получил бы (но соседи могут получать и одноцветные
горшки). У кого из друзей больше способов осуществить задуманное и во
сколько раз?
комментарий/решение
комментарий/решение