Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2002 год

Задача №1. Каждая из точек

$G$ и

$H$ соединена непересекающимися отрезками со всеми вершинами шестиугольника

$ABCDEF$ . Можно ли расставить на получившихся 18 отрезках числа 1, 2, 3,

$\dots$ , 18, а в точках

$A$ ,

$B$ ,

$C$ ,

$D$ ,

$E$ ,

$F$ ,

$G$ ,

$H$ — некоторые числа (не обязательно целые) так, чтобы на каждом отрезке было написано число, равное разности чисел, написанных в его вершинах? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №2. На сторонах

$BC$ ,

$CA$ и

$AB$ треугольника

$ABC$ взяты соответственно точки

$A_1$ ,

$B_1$ и

$C_1$ так, что

$AC_1:C_1B=BA_1:A_1C=CB_1:B_1A=2:1$ . Докажите, что если треугольник

$A_1B_1C_1$ — равносторонний, то и треугольник

$ABC$ — равносторонний.
комментарий/решение(3)

Задача №3. Существует ли квадратный трехчлен с целыми коэффициентами, все значения которого в натуральных точках — натуральные степени двойки? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №4. Прямоугольная доска с 2001 строчками и 2002 столбцами разбита на прямоугольники

$1\times 2$ так, что некоторые два соседних столбца заполнены 2001 горизонтальным прямоугольником. Докажите, что в любом другом разбиении этой доски на прямоугольники

$1\times 2$ найдется прямоугольник, содержавшийся и в исходном разбиении. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение

Задача №5. Докажите, что при всех

$x,y\in [0;1]$ выполняется неравенство

$5(x^2+y^2)^2\leq 4+(x+y)^4.$
комментарий/решение(1)

Задача №6. В клетках таблицы

$100\times100$ расставлены попарно различные числа. Каждую минуту каждое из чисел меняется на наибольшее из чисел, стоящих в соседних с ним по стороне клетках. Могут ли через 4 часа все числа в таблице оказаться одинаковыми?
комментарий/решение

Задача №7. Дано натуральное число

$c$ . Последовательность

$\{p_k\}$ строится по следующему правилу:

$p_1$ — произвольное простое число, а при

$k\geq 1$ число

$p_{k+1}$ — любой простой делитель числа

$p_k+c$ , не встречающийся среди чисел

$p_1$ ,

$p_2$ ,

$\dots$ ,

$p_k$ . Докажите, что последовательность

$\{p_k\}$ не может быть бесконечной. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №8. Окружность с центром

$O$ касается сторон угла с вершиной

$A$ в точках

$K$ и

$M$ . Касательная к окружности пересекает отрезки

$AK$ и

$AM$ в точках

$B$ и

$C$ соответственно, а прямая

$KM$ пересекает отрезки

$OB$ и

$OC$ в точках

$D$ и

$E$ . Докажите, что площадь треугольника

$ODE$ равна четверти площади треугольника

$BOC$ тогда и только тогда, когда угол

$A$ равен

$60^\circ$ .
комментарий/решение(7)