Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2002 год

На сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ так, что $AC_1:C_1B=BA_1:A_1C=CB_1:B_1A=2:1$. Докажите, что если треугольник $A_1B_1C_1$ — равносторонний, то и треугольник $ABC$ — равносторонний.

Комментарий/решение

$$\frac {S_1}{S_{\triangle ABC}}=\frac{0,5\cdot BC_1 \cdot BA_1 \cdot sin (\angle ABC)}{0,5\cdot AB\cdot BC \cdot sin (\angle ABC)} = \frac {BC_1 \cdot BA_1}{AB \cdot BC}=\frac {2xz}{9xz}=\frac{2}{9}$$

$$\frac {S_1}{S_{\triangle ABC}}=\frac {S_2}{S_{\triangle ABC}}= \frac {S_3}{S_{\triangle ABC}}=\frac {2}{9} \Rightarrow \frac {S_{\triangle A_1B_1C_1}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow S_{\triangle ABC}=3\cdot S_{\triangle A_1B_1C_1}=\frac {3a^2 \sqrt{3}}{4} \Rightarrow AB=BC=AC=a \sqrt{3}$$

$$BA_1=\frac{2}{3} \cdot BC= \frac {2a\sqrt{3}}{3}$$

$$BC_1=\frac {a\sqrt{3}}{3}$$

$$C_1A_1^2=BC_1^2+BA_1^2-2\cdot BA_1 \cdot BC_1 cos (\angle ABC)\Rightarrow \angle A=\angle B= \angle C= 60^o$$

В задаче Вы воспользовались недоказанным фактом, а именно:

$\Rightarrow S_{\triangle ABC}=3\cdot S_{\triangle A_1B_1C_1}=\frac {3a^2 \sqrt{3}}{4} \Rightarrow AB=BC=AC=a \sqrt{3}$.

Возникает вопрос, почему, если $S_{\triangle ABC}=3\cdot S_{\triangle A_1B_1C_1}=\frac {3a^2 \sqrt{3}}{4}$, то $AB=BC=AC=a \sqrt{3}?$

Из условия следует что $S_{A_{1}BC_{1}}=S_{AC_{1}B_1}=S_{CB_{1}A_{1}} = \dfrac{2}{9}S_{ABC}$ так как $A_{1}B_{1}C_{1}$ равносторонний, то высоты проведенные из вершин $A,B,C$ к сторонам равностороннего треугольника равны между собой, положим что $h$, $BC_{1}=x, AC_{1}=2x$. Тогда из треугольника $BC_{1}A_{1}$ получаем $\frac{x}{h}=\frac{1}{sin \angle BC_{1}A_{1}}$ из $AB_{1}C_{1}$ получаем $\frac{x}{h}=\frac{1}{2sin(120^{\circ}-\angle BC_{1}A_{1})}$ откуда $\angle BC_{1}A_{1}=90^{\circ}$, тогда $\angle AC_{1}B_{1}=30^{\circ}$ аналогично и с остальными, получим $\angle ABC = \angle ACB = \angle BAC=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$