қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2002 жыл
Есеп №1. $G$ және $H$ нүктелерінің әрқайсысы $ABCDEF$ алтыбұрышының барлық төбелерімен, қиылыспайтын кесінділермен байланысқан. Пайда болған 18 кесіндіге 1, 2, 3, $\ldots$, 18 сандарын, ал $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ нүктелеріне нақты сандарды, әрбір кесіндіде осы кесіндінің төбелеріндегі сандардың айырмасына тең болатындай орналастыруға болады ма?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $A{{C}_{1}}:{{C}_{1}}B=B{{A}_{1}}:{{A}_{1}}C=C{{B}_{1}}:{{B}_{1}}A=2:1$ болатындай, $ABC$үшбұрышының $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларында сәйкесінше ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелері алынған. Егер ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ үшбұрышы теңқабырғалы болса, $ABC$ үшбұрышы да теңқабырғалы екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. Натурал нүктелерде мәні екінің натурал дәрежесі болатындай және коэффициенттері бүтін, квадрат үшмүше табыла ма?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. 2001 жолы және 2002 бағаны бар тікбұрышты тақта, $1\times 2$ тіктөртбұрыштарына бөлінген. Кез-келген басқа осы тақтаның $1\times 2$ тіктөртбұрыштарына бөліндісінде, алғашқы бөліндіде де кездесетін тіктөртбұрыш бар екендігі белгілі. Алғашқы бөліндіде 2001 горизонтал тіктөртбұрыштарымен толтырылған, екі көршілес баған бар екенін дәлелдеңіз.
(
С. Волчёнков
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $x$ пен $y$-тің барлық $x,y\in \left[ 0;1 \right]$ мәнінде келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңіз: $5{{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}^{2}}\le 4+{{(x+y)}^{4}}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $100\times 100$ кестесінің торларында әртүрлі сандар орналасқан. Әр минут сайын, әр сан, қасында орналасқан ұяшықтардағы ең үлкен санмен алмастырылып отырды. 4 сағаттан кейін кестедегі сандардың барлығы бірдей болуы мүмкін бе?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. $c$ натурал саны берілсін. $\left\{ {{p}_{k}} \right\}$ тізбегі келесі ереже бойынша құрастырылады: ${{p}_{1}}$ кез-келген жай сан, ал ${{p}_{k+1}}$-саны $k\ge 1$ үшін, ${{p}_{1,}}$ ${{p}_{2,}}$ $\ldots$, ${{p}_{k.}}$ сандары құрамында кездеспейтін ${{p}_{k}}+c$-санының кез-келген жай бөлгіші. $\left\{ {{p}_{k}} \right\}$ тізбегі шексіз бола алмайтынын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Центрі $O$ болатын шеңбер, төбесі $A$ болатын бұрыштың қабырғаларымен $K$ және $M$ нүктелерінде жанасады. Шеңберге жүргізілген жанама, $AK$ және $AM$ кесінділерін сәйкесінше $B$ және $C$ нүктелерінде, ал $KM$ түзуі $OB$ және $OC$ кесінділерін $D$ және $E$ нүктелерінде қияды. $A$ бұрышы $90{}^\circ $ болғанда ғана, $ODE$ үшбұрышының ауданы, $BOC$ үшбұрышының ауданының төрттен бір бөлігіне тең болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)