Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2002 жыл

Есеп №1.

$G$ және

$H$ нүктелерінің әрқайсысы

$ABCDEF$ алтыбұрышының барлық төбелерімен, қиылыспайтын кесінділермен байланысқан. Пайда болған 18 кесіндіге 1, 2, 3,

$\ldots$ , 18 сандарын, ал

$A$ ,

$B$ ,

$C$ ,

$D$ ,

$E$ ,

$F$ ,

$G$ ,

$H$ нүктелеріне нақты сандарды, әрбір кесіндіде осы кесіндінің төбелеріндегі сандардың айырмасына тең болатындай орналастыруға болады ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №2.

$A{{C}_{1}}:{{C}_{1}}B=B{{A}_{1}}:{{A}_{1}}C=C{{B}_{1}}:{{B}_{1}}A=2:1$ болатындай,

$ABC$ үшбұрышының

$BC$ ,

$CA$ және

$AB$ қабырғаларында сәйкесінше

${{A}_{1}}$ ,

${{B}_{1}}$ және

${{C}_{1}}$ нүктелері алынған. Егер

${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ үшбұрышы теңқабырғалы болса,

$ABC$ үшбұрышы да теңқабырғалы екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Натурал нүктелерде мәні екінің натурал дәрежесі болатындай және коэффициенттері бүтін, квадрат үшмүше табыла ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №4. 2001 жолы және 2002 бағаны бар тікбұрышты тақта,

$1\times 2$ тіктөртбұрыштарына бөлінген. Кез-келген басқа осы тақтаның

$1\times 2$ тіктөртбұрыштарына бөліндісінде, алғашқы бөліндіде де кездесетін тіктөртбұрыш бар екендігі белгілі. Алғашқы бөліндіде 2001 горизонтал тіктөртбұрыштарымен толтырылған, екі көршілес баған бар екенін дәлелдеңіз. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение

Есеп №5.

$x$ пен

$y$ -тің барлық

$x,y\in \left[ 0;1 \right]$ мәнінде келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңіз:

$5{{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}^{2}}\le 4+{{(x+y)}^{4}}$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$100\times 100$ кестесінің торларында әртүрлі сандар орналасқан. Әр минут сайын, әр сан, қасында орналасқан ұяшықтардағы ең үлкен санмен алмастырылып отырды. 4 сағаттан кейін кестедегі сандардың барлығы бірдей болуы мүмкін бе?
комментарий/решение

Есеп №7.

$c$ натурал саны берілсін.

$\left\{ {{p}_{k}} \right\}$ тізбегі келесі ереже бойынша құрастырылады:

${{p}_{1}}$ кез-келген жай сан, ал

${{p}_{k+1}}$ -саны

$k\ge 1$ үшін,

${{p}_{1,}}$

${{p}_{2,}}$

$\ldots$ ,

${{p}_{k.}}$ сандары құрамында кездеспейтін

${{p}_{k}}+c$ -санының кез-келген жай бөлгіші.

$\left\{ {{p}_{k}} \right\}$ тізбегі шексіз бола алмайтынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №8. Центрі

$O$ болатын шеңбер, төбесі

$A$ болатын бұрыштың қабырғаларымен

$K$ және

$M$ нүктелерінде жанасады. Шеңберге жүргізілген жанама,

$AK$ және

$AM$ кесінділерін сәйкесінше

$B$ және

$C$ нүктелерінде, ал

$KM$ түзуі

$OB$ және

$OC$ кесінділерін

$D$ және

$E$ нүктелерінде қияды.

$A$ бұрышы

$90{}^\circ$ болғанда ғана,

$ODE$ үшбұрышының ауданы,

$BOC$ үшбұрышының ауданының төрттен бір бөлігіне тең болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(7)