қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2000 жыл
Есеп №1. Натурал $n$ саны үшін, $d(n)$ арқылы осы санның натурал бөлгіштер саны белгілейік, ал $e(n)=\left[ \dfrac{2000}{n} \right]$ болсын (2000-ді $n$-ге бөлгендегі бүтін бөлігі). Олай болса, $d(1)+d(2)+\ldots+d(2000)=e(1)+e(2)+\ldots+e(2000)$ теңдігі орындалатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Ромбыға іштей сызылған шеңбер, ромбының $AB$ және $BC$ қабырғаларымен, сәйкесінше $E'$ және $F'$ нүктелерінде жанасады. Жанама $l$ түзуі $AB$ және $BC$ қабырғаларын $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $AE\cdot CF$ көбейтіндісі $l$ жанамасының таңдалылмына тәуелсіз екендігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Ұзындықтары $1,2,3,\ldots $ (әрбір натурал ұзындық тек бір рет кездеседі) болатын сым бөліктерінен суретте көрсетілгендей, барлық бағытта шексіз жалғасатын «кірпішті қабырға» салуға болады ма? (Сымды майыстыруға болады, «кірпіш» өлшемі $1\times 2$).
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Нақты ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots,{{x}_{n}}$, $0 < {{x}_{k}}\le \dfrac{1}{2}$ сандары үшін,
${{\left( \dfrac{n}{{{x}_{1}}+\ldots +{{x}_{n}}}-1 \right)}^{n}}\le \left( \dfrac{1}{{{x}_{1}}}-1 \right)\ldots \left( \dfrac{1}{{{x}_{n}}}-1 \right)$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Кез-келген шеңбер ішінде барлық 2000 түсті нүктелер кездесетіндей, жазықтықты $2000$ түске бояуға болады ма?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. Графландии елінде, кейбір қалалары жолмен байланысқан, $2000$ қала бар. Әрбір қаладан қанша жол шығатындығы есептелгенде, екі қаладан шығатын жол саны бірдей екендігі анықталды. Осы қалалардан шығатын жол саны нешеге тең болуы мүмкін?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Барлық нақты $x$ үшін, $P(t)$ көпмүшесі үшін $P(\sin x)+P(\cos x)=1$ теңдігі орындалады. Осы көпмүшенің дәрежесі қандай болуы мүмкін?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №8. ${{10}^{-n}}$, $1\le n$, түріндегі санды, әртүрлі натурал сандардың кері факториалдарының қосындысы түрінде көрсету мүмкін еместігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)