Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2000 жыл

Есеп №1. Натурал

$n$ саны үшін,

$d(n)$ арқылы осы санның натурал бөлгіштер саны белгілейік, ал

$e(n)=\left[ \dfrac{2000}{n} \right]$ болсын (2000-ді

$n$ -ге бөлгендегі бүтін бөлігі). Олай болса,

$d(1)+d(2)+\ldots+d(2000)=e(1)+e(2)+\ldots+e(2000)$ теңдігі орындалатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Ромбыға іштей сызылған шеңбер, ромбының

$AB$ және

$BC$ қабырғаларымен, сәйкесінше

$E'$ және

$F'$ нүктелерінде жанасады. Жанама

$l$ түзуі

$AB$ және

$BC$ қабырғаларын

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$AE\cdot CF$ көбейтіндісі

$l$ жанамасының таңдалылмына тәуелсіз екендігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Ұзындықтары

$1,2,3,\ldots$ (әрбір натурал ұзындық тек бір рет кездеседі) болатын сым бөліктерінен суретте көрсетілгендей, барлық бағытта шексіз жалғасатын «кірпішті қабырға» салуға болады ма? (Сымды майыстыруға болады, «кірпіш» өлшемі

$1\times 2$ ).

комментарий/решение

Есеп №4. Нақты

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots,{{x}_{n}}$ ,

$0 < {{x}_{k}}\le \dfrac{1}{2}$ сандары үшін,

${{\left( \dfrac{n}{{{x}_{1}}+\ldots +{{x}_{n}}}-1 \right)}^{n}}\le \left( \dfrac{1}{{{x}_{1}}}-1 \right)\ldots \left( \dfrac{1}{{{x}_{n}}}-1 \right)$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Кез-келген шеңбер ішінде барлық 2000 түсті нүктелер кездесетіндей, жазықтықты

$2000$ түске бояуға болады ма?
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Графландии елінде, кейбір қалалары жолмен байланысқан,

$2000$ қала бар. Әрбір қаладан қанша жол шығатындығы есептелгенде, екі қаладан шығатын жол саны бірдей екендігі анықталды. Осы қалалардан шығатын жол саны нешеге тең болуы мүмкін?
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Барлық нақты

$x$ үшін,

$P(t)$ көпмүшесі үшін

$P(\sin x)+P(\cos x)=1$ теңдігі орындалады. Осы көпмүшенің дәрежесі қандай болуы мүмкін?
комментарий/решение(2)

Есеп №8.

${{10}^{-n}}$ ,

$1\le n$ , түріндегі санды, әртүрлі натурал сандардың кері факториалдарының қосындысы түрінде көрсету мүмкін еместігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)