Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2000 жыл
Нақты x1,x2,…,xn, 0<xk≤12 сандары үшін,
(nx1+…+xn−1)n≤(1x1−1)…(1xn−1) теңсіздігін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Это неравенство эквивалентно f(x1+x2+...+xnn)≤f(x1)+f(x2)+...+f(xn)n, здесь f(x)=ln(1x−1)(0<x<1).
Имеем f′(x)=−1x(1−x) и f″. По теореме Йенсена все готово!
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.