Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2000 жыл

Нақты ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots,{{x}_{n}}$, $0 < {{x}_{k}}\le \dfrac{1}{2}$ сандары үшін, ${{\left( \dfrac{n}{{{x}_{1}}+\ldots +{{x}_{n}}}-1 \right)}^{n}}\le \left( \dfrac{1}{{{x}_{1}}}-1 \right)\ldots \left( \dfrac{1}{{{x}_{n}}}-1 \right)$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Это неравенство эквивалентно $f(\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n})\leq \frac{f(x_{1})+f(x_ {2})+...+f(x_{n})}{n}$, здесь $f(x)=\ln (\frac{1}{x}-1) (0<x<1) $.

Имеем $f'(x)=-\frac{1}{x(1-x)}$ и $f''(x)=\frac{1-2x}{x^{2}(1-x )^{2}}\geq 0 \; \forall x\in (0,\frac{1}{2}]$. По теореме Йенсена все готово!