қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2000 год
Задача №1. Обозначим для натурального $n$ $d(n)$ — число натуральных делителей $n$
и $e(n)=\left[2000\over n\right]$. Докажите, что
$$d(1)+d(2)+\dots+d(2000)=e(1)+e(2)+\dots+e(2000).$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Вписанная в ромб окружность касается его сторон $AB$ и $BC$ в точках $E'$ и
$F'$. Касательная $l$ пересекает $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$. Докажите, что
произведение $AE\cdot CF$ не зависит от выбора касательной $l$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Можно ли сложить из кусков проволоки с длинами $1, 2, 3, \dots$ (каждая натуральная
длина встречается ровно один раз) изображенную на рисунке бесконечную
во всех направлениях "кирпичную
стену"? (Проволоку можно сгибать; размер "кирпича" — $1\times 2$ ).
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Докажите для действительных чисел $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$,
$0 < x_k \leq {1\over 2}$, неравенство
$$ \left( {n \over x_1 + \dots + x_n} - 1 \right)^n \leq
\left( {1 \over x_1} - 1 \right) \dots \left( {1 \over x_n} - 1 \right). $$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Можно ли раскрасить плоскость в 2000 цветов так, чтобы внутри любого
круга были точки всех 2000 цветов?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. В стране Графландии 2000 городов, некоторые из которых соединены дорогами.
Для каждого из городов посчитали количество выходящих из него дорог. Оказалось,
что среди полученных чисел ровно два одинаковых. Чему они могут быть равны?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Многочлен $P(t)$ таков, что при всех действительных $x$ $P(\sin x)+P(\cos x)=1$. Какова может быть степень этого многочлена?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №8. Докажите, что никакое число вида $10^{-n}$, $n\geq 1$, нельзя
представить в виде суммы чисел, обратных факториалам разных натуральных
чисел.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)