Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2000 жыл


Барлық нақты x үшін, P(t) көпмүшесі үшін P(sinx)+P(cosx)=1 теңдігі орындалады. Осы көпмүшенің дәрежесі қандай болуы мүмкін?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
3 года 1 месяца назад #

Ответ: P(t)=12

1)Пусть P(t)=C=const. Подставим в исходное выражение

C+C=1C=12

2)Пусть P(t)- многочлен nой степени. Он имеет вид

P(t)=a0+a1t1+a2t2+...+antn

3)Посмотрим, чему равно P(sinx) и P(cosx)

P(sinx)=a0+a1sinx+a2sin2x+...+ansinnx

P(cosx)=a0+a1cosx+a2cos2x+...+ancosnx

4)Посмотрим, чему равно P(sinx)+P(cosx)

P(sinx)+P(cosx)=2a0+a1(sinx+cosx)+...+an(sinnx+cosnx)=1

5)Применим метод неопределенных коэффициентов. Он позволяет вычислить неизвестные коэффициенты ai. Для этого составим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это можно сделать подстановкой различных "иксов" в уравнение (4). Чтоб система была совместна, размерность такой матрицы должна быть n×n

6)Выпишем расширенную матрицу для решения СЛАУ методом Гаусса

(2C12C1n1212Cn2Cnn1)

Здесь Cij результаты подстановок n различных "иксов" в (4) перед соответствующими коэффициентами.

7)Покажем, что an=0. Сделаем прямой ход Гаусса - приведем матрицу к треугольному виду. После того, как привели к треугольному виду матрицу, получили что-то типа такого:

(2C12C1n10000Cnn0). В столбце свободных членов всегда будут нули, так как при самом первом ходе Гаусса все обнулилось (в силу того, что все свободные члены были равны единице).

8)Так как an=0 было получено для произвольного n, приходим к вывод, что решение P(t)=12 единственное

  2
3 года 1 месяца назад #

кажется ещё есть ответ P(x)=x2