Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2000 жыл
Комментарий/решение:
Ответ: P(t)=12
1)Пусть P(t)=C=const. Подставим в исходное выражение
C+C=1⇒C=12
2)Пусть P(t)- многочлен n−ой степени. Он имеет вид
P(t)=a0+a1⋅t1+a2⋅t2+...+an⋅tn
3)Посмотрим, чему равно P(sinx) и P(cosx)
P(sinx)=a0+a1⋅sinx+a2⋅sin2x+...+an⋅sinnx
P(cosx)=a0+a1⋅cosx+a2⋅cos2x+...+an⋅cosnx
4)Посмотрим, чему равно P(sinx)+P(cosx)
P(sinx)+P(cosx)=2⋅a0+a1⋅(sinx+cosx)+...+an⋅(sinnx+cosnx)=1
5)Применим метод неопределенных коэффициентов. Он позволяет вычислить неизвестные коэффициенты ai. Для этого составим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это можно сделать подстановкой различных "иксов" в уравнение (4). Чтоб система была совместна, размерность такой матрицы должна быть n×n
6)Выпишем расширенную матрицу для решения СЛАУ методом Гаусса
(2C12…C1n12…⋱…12Cn2…Cnn1)
Здесь Cij− результаты подстановок n различных "иксов" в (4) перед соответствующими коэффициентами.
7)Покажем, что an=0. Сделаем прямой ход Гаусса - приведем матрицу к треугольному виду. После того, как привели к треугольному виду матрицу, получили что-то типа такого:
(2C12…C1n10…⋱…000…C∗nn0). В столбце свободных членов всегда будут нули, так как при самом первом ходе Гаусса все обнулилось (в силу того, что все свободные члены были равны единице).
8)Так как an=0 было получено для произвольного n, приходим к вывод, что решение P(t)=12 единственное
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.