Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Пусть

$a, b, c$ — действительные числа такие, что

$a + b + c = 0$ и

$a^4 + b^4 + c^4 = 50$ . Определите

$ab + bc + ca$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Вписанная окружность касается сторон

$AB$ и

$AC$ треугольника

$ABC$ в точках

$M$ и

$N$ . Пусть

$P$ — точка пересечения прямой

$MN$ и биссектрисы угла

$B$ (или ее продолжения). Докажите, что угол

$BPC$ — прямой.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Докажите, что для любого натурального

$n$ найдутся

$n$ последовательных натуральных чисел, среди которых ровно одно простое.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Определите все целые числа

$b, c$ такие, что уравнение

$x^2-bx+c=0$ имеет 2 действительных корня

$x_1, x_2$ , для которых

$x_1^2+x_2^2=5$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дана прямоугольная трапеция

$ABCD$ , в которой углы

$C$ и

$B$ — прямые. На стороне

$AD$ как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону

$BC$ в точках

$M$ и

$N$ . Докажите, что

$BM \cdot MC=AB \cdot CD$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Внутри квадрата со стороной 1 находится несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите, что существует прямая, пересекающая не менее четырех из этих окружностей.
комментарий/решение(1)