Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 11 класс

Внутри квадрата со стороной 1 находится несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите, что существует прямая, пересекающая не менее четырех из этих окружностей.

Комментарий/решение

Давайте предположим обратное: пусть каждая прямая пересекает не более трех окружностей. Рассмотрим окружности, которые пересекает данная прямая. Так как каждая прямая пересекает не более трех окружностей, то сумма их длин по этой прямой не превышает 3.

Теперь рассмотрим все возможные прямые, которые можно провести внутри квадрата. Поскольку сумма длин всех окружностей равна 10, то сумма длин всех окружностей, пересекаемых всеми прямыми, не может превышать 10.

Но если каждая прямая пересекает не более трех окружностей, а сумма длин всех окружностей, пересекаемых каждой прямой, не превышает 3, то сумма длин всех окружностей, пересекаемых всеми прямыми, не превышает \(3 \times \text{количество прямых}\).

Таким образом, чтобы сумма длин всех окружностей была равна 10, должно быть не менее \(10 \div 3 = 3\frac{1}{3}\) прямых. Однако нельзя иметь дробное количество прямых. Значит, предположение о том, что каждая прямая пересекает не более трех окружностей, неверно.Следовательно, существует прямая, пересекающая не менее четырех из этих окружностей.