қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Пусть $a, b, c$ — действительные числа такие, что $a + b + c = 0$ и $a^4 + b^4 + c^4 = 50$. Определите $ab + bc + ca$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Вписанная окружность касается сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $M$ и $N$. Пусть $P$ — точка пересечения прямой $MN$ и биссектрисы угла $B$ (или ее продолжения). Докажите, что угол $BPC$ — прямой.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Докажите, что для любого натурального $n$ найдутся $n$ последовательных натуральных чисел, среди которых ровно одно простое.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Определите все целые числа $b, c$ такие, что уравнение $x^2-bx+c=0$ имеет 2 действительных корня $x_1, x_2$, для которых $x_1^2+x_2^2=5$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой углы $C$ и $B$ — прямые. На стороне $AD$ как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону $BC$ в точках $M$ и $N$. Докажите, что $BM \cdot MC=AB \cdot CD$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Внутри квадрата со стороной 1 находится несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите, что существует прямая, пересекающая не менее четырех из этих окружностей.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)