Математикадан аудандық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$a+b+c=0$ және

${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}=50$ шарттарын қанағаттандыратын

$a,b,c$ нақты сандары берілген.

$ab+bc+ca$ мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышна іштей сызылған шеңбер

$AB$ және

$AC$ қабырғаларын

$M$ және

$N$ нүктелерінде жанайды.

$P$ —

$MN$ түзуі мен

$B$ бұрышының биссектрисасымен (немесе оның созындысымен) қиылысу нүктесі.

$BPC$ бұрышы тік болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Кез-келген

$n$ натурал саны үшін арасында дәл бір ғана жай сан болатын тізбектес

$n$ натурал сандар табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

${{x}^{2}}-bx+c=0$ теңдеуінің

$x_1^2+x_2^2=5$ шартын қанағаттандыратын

${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ нақты түбірлері болатын барлық бүтін

$b,c$ сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABCD$ тікбұрышты трапециясында

$C$ және

$B$ бұрыштары тік.

$BC$ қабырғасын

$M$ және

$N$ нүктелерінде қиятын,

$AD$ қабырғасына диаметр ретінде шеңбер салынған.

$BM \cdot MC=AB \cdot CD$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Ұзындықтарының қосындысы 10 болатын бірнеше шеңберлер қабырғасың ұзындығы 1 шаршының ішінде орналасқан. Кем дегенде, төрт шеңберді қиятын түзу табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)