қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $a+b+c=0$ және ${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}=50$ шарттарын қанағаттандыратын $a,b,c$ нақты сандары берілген. $ab+bc+ca$ мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышна іштей сызылған шеңбер $AB$ және $AC$ қабырғаларын $M$ және $N$ нүктелерінде жанайды. $P$ — $MN$ түзуі мен $B$ бұрышының биссектрисасымен (немесе оның созындысымен) қиылысу нүктесі. $BPC$ бұрышы тік болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Кез-келген $n$ натурал саны үшін арасында дәл бір ғана жай сан болатын тізбектес $n$ натурал сандар табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. ${{x}^{2}}-bx+c=0$ теңдеуінің $x_1^2+x_2^2=5$ шартын қанағаттандыратын ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ нақты түбірлері болатын барлық бүтін $b,c$ сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $ABCD$ тікбұрышты трапециясында $C$ және $B$ бұрыштары тік. $BC$ қабырғасын $M$ және $N$ нүктелерінде қиятын, $AD$ қабырғасына диаметр ретінде шеңбер салынған. $BM \cdot MC=AB \cdot CD$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Ұзындықтарының қосындысы 10 болатын бірнеше шеңберлер қабырғасың ұзындығы 1 шаршының ішінде орналасқан. Кем дегенде, төрт шеңберді қиятын түзу табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)