Математикадан аудандық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 11 сынып

$ABCD$ тікбұрышты трапециясында $C$ және $B$ бұрыштары тік. $BC$ қабырғасын $M$ және $N$ нүктелерінде қиятын, $AD$ қабырғасына диаметр ретінде шеңбер салынған. $BM \cdot MC=AB \cdot CD$ болатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

По условию $\angle AMD$опирается на диаметр, то есть $\angle AMD =90$. Пусть $\angle CMD=a$, тогда $\angle BMA=90-a;\angle BAM=a$. Из $\triangle BMA$ получим $AB=MB*ctg a$; Из $\triangle MCD$ получим $CD=MC*tg a$. Перемножив данные выражения, получаем требуемое.