Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 11 класс

Дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой углы $C$ и $B$ — прямые. На стороне $AD$ как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону $BC$ в точках $M$ и $N$. Докажите, что $BM \cdot MC=AB \cdot CD$.

Комментарий/решение

По условию $\angle AMD $опирается на диаметр, то есть $\angle AMD =90$. Пусть $\angle CMD=a $, тогда $\angle BMA=90-a;\angle BAM=a $. Из $\triangle BMA $ получим $AB=MB*ctg a$; Из $\triangle MCD $ получим $CD=MC*tg a $. Перемножив данные выражения, получаем требуемое.