50-я Международная Математическая Oлимпиада
Германия, Бремен, 2009 год

Задача №1.  Даны целое положительное число $n$ и попарно различные целые числа ${{a}_{1}}$, $\ldots$, ${{a}_{k}}$ ($k\ge 2$) из множества $\left\{ 1,\ldots ,n \right\}$ такие, что для каждого $i=1,\ldots ,k-1$ число ${{a}_{i}}\left( {{a}_{i+1}}-1 \right)$ делится на $n$. Докажите, что число ${{a}_{k}}\left( {{a}_{1}}-1 \right)$ не делится на $n$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Пусть $P$ и $Q$ — внутренние точки отрезков $CA$ и $AB$ соответственно. Точки $K$, $L$ и $M$ — середины отрезков $BP$, $CQ$ и $PQ$ соответственно, а $\Gamma$ — окружность, проходящая через точки $K$, $L$ и $M$. Известно, что прямая $PQ$ касается окружности $\Gamma$. Докажите, что $OP=OQ$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Дана строго возрастающая последовательность целых положительных чисел ${{s}_{1}}$, ${{s}_{2}}$, ${{s}_{3}}$, $\ldots$ такая, что каждая из двух последовательностей ${{s}_{{{s}_{1}}}}$, ${{s}_{{{s}_{2}}}}$, ${{s}_{{{s}_{3}}}}$, $\ldots$ и ${{s}_{{{s}_{1}}+1}}$, ${{s}_{{{s}_{2}}+1}}$, ${{s}_{{{s}_{3}}+1}}$, $\ldots$ является арифметической прогрессией. Докажите, что последовательность ${{s}_{1}}$, ${{s}_{2}}$, ${{s}_{3}}$, $\ldots$ также является арифметической прогрессией.
комментарий/решение(3)

---

Задача №4.  Треугольник $ABC$ таков, что $AB=AC$. Биссектрисы углов $CAB$ и $ABC$ пересекают стороны $BC$ и $CA$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Обозначим через $K$ центр окружности, вписанной в треугольник $ADC$. Оказалось, что $\angle BEK=45{}^\circ$. Найдите все возможные значения угла $CAB$.
комментарий/решение(4)

---

Задача №5.  Найдите все функции $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ (то есть функции, определенные на множестве всех целых положительных чисел и принимающие целые положительные значения) такие, что для любых целых положительных $a$ и $b$ существует невырожденный треугольник, длины сторон которого равны трем числам $a$, $f(b)$, $f\left( b+f(a)-1 \right)$.
(Треугольник называется невырожденным, если его вершины не лежат на одной прямой.)
комментарий/решение(5)

---

Задача №6.  Даны попарно различные целые положительные числа ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$, а также множество $M$, состоящее из $n-1$ целого положительного числа, но не содержащее число $s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$. Кузнечик должен сделать $n$ прыжков вправо по числовой прямой, стартуя из точки с координатой 0. При этом длины его прыжков должны равняться числам ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$, взятым в некотором порядке. Докажите, что этот порядок можно выбрать таким образом, чтобы кузнечик ни разу не приземлился в точке, имеющей координату из множества $M$.
комментарий/решение(1)

---