50-я Международная Математическая Oлимпиада
Германия, Бремен, 2009 год
Треугольник ABC таков, что AB=AC. Биссектрисы углов CAB и ABC пересекают стороны BC и CA в точках D и E соответственно. Обозначим через K центр окружности, вписанной в треугольник ADC. Оказалось, что ∠BEK=45∘. Найдите все возможные значения угла CAB.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Тут точно в "Обозначим через K центр окружности, вписанной в треугольник ABC" треугольник ABC ?
Пусть ∠CAB=2a и I - точка пересечения биссектрис, тогда можно выразить все нужные углы, а именно из треугольника IKD получаем ID=IK⋅cos(a2)sin45∘ из треугольника IKE получаем IE=IK⋅sin(45∘+a)sin45∘ и из треугольника AIE с учетом IE получаем AI=IE⋅sin(135∘−3a2)sina=IK⋅√2⋅sin(a+45∘)⋅sin(3a2+45∘)sina
Так как CI биссектриса то IDIA=CDCA=sina подставляя и преобразовывая cosa2=sin5a2 или (2sina−1)⋅sin(a−45∘)⋅sin(a2+45∘)=0 откуда a=30∘ и a=45∘ то есть возможные значения ∠CAB=60∘,90∘ .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.