Processing math: 100%

50-я Международная Математическая Oлимпиада
Германия, Бремен, 2009 год


Треугольник ABC таков, что AB=AC. Биссектрисы углов CAB и ABC пересекают стороны BC и CA в точках D и E соответственно. Обозначим через K центр окружности, вписанной в треугольник ADC. Оказалось, что BEK=45. Найдите все возможные значения угла CAB.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
8 года 2 месяца назад #

Тут точно в "Обозначим через K центр окружности, вписанной в треугольник ABC" треугольник ABC ?

  1
8 года 2 месяца назад #

Спасибо! Там была опечатка. Исправили!

  6
5 года 7 месяца назад #

Пусть CAB=2a и I - точка пересечения биссектрис, тогда можно выразить все нужные углы, а именно из треугольника IKD получаем ID=IKcos(a2)sin45 из треугольника IKE получаем IE=IKsin(45+a)sin45 и из треугольника AIE с учетом IE получаем AI=IEsin(1353a2)sina=IK2sin(a+45)sin(3a2+45)sina

Так как CI биссектриса то IDIA=CDCA=sina подставляя и преобразовывая cosa2=sin5a2 или (2sina1)sin(a45)sin(a2+45)=0 откуда a=30 и a=45 то есть возможные значения CAB=60,90 .

  3
2 года 8 месяца назад #

I=BEAD. Далее возьмём E как симметрию точки E относительно IC. Допустим D не равен E. IDK=IEK=45 от куда следует что IDEK вписанный. KDE=KIE=EIK=45 BIC=135 и BAC=90. Если D=E то BAC=60.