Математикадан 50-ші халықаралық олимпиада, 2009 жыл, Бремен

Есеп №1. $\{ 1,\ldots ,n \}$ жиынынан әртүрлі ${{a}_{1}}$, $\ldots $, ${{a}_{k}}$ натурал сандары алынған; мұндағы $n$ — натурал сан және $k\ge 2$. Егер әрбір $i=1,\ldots ,k-1$ үшін ${{a}_{i}}\left( {{a}_{i+1}}-1 \right)$ саны $n$-ге бөлінетін болса, онда ${{a}_{k}}\left( {{a}_{1}}-1 \right)$ саны $n$-ге бөлінбейтінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрін $O$ деп белгілейік. $P$ және $Q$ сәйкесінше $CA$ және $AB$ кесінділерінің ішкі нүктелері болсын. $K$, $L$ және $M$ нүктелері сәйкесінше $BP$, $CQ$ және $PQ$ кесінділерінің ортасы болсын. $K$, $L$ және $M$ нүктелері арқылы өтетін шеңберді $\Gamma $ деп белгілейік. Егер $PQ$ түзуі $\Gamma $ шеңберін жанайтын болса, онда $OP=OQ$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Оң бүтін сандардың қатаң өспелі ${{s}_{1}}$, ${{s}_{2}}$, ${{s}_{3}}$, $\ldots $ тізбегі берілген, оған қоса ${{s}_{{{s}_{1}}}}$, ${{s}_{{{s}_{2}}}}$, ${{s}_{{{s}_{3}}}}$, $\ldots $ және ${{s}_{{{s}_{1}}+1}}$, ${{s}_{{{s}_{2}}+1}}$, ${{s}_{{{s}_{3}}+1}}$, $\ldots $ ішкі тізбектерінің екеуі де арифметикалық прогрессия құрайтыны белгілі. Олай болса, ${{s}_{1}}$, ${{s}_{2}}$, ${{s}_{3}}$, $\ldots $ тізбегінің өзі де арифметикалық прогрессия құрайтынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)

Есеп №4. $AB=AC$ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген. $CAB$ және $ABC$ бұрыштарының биссектрисалары $BC$ және $CA$ қабырғаларын сәйкесінше $D$ және $E$ нүктелерінде қияды. $K$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі болсын. Егер $\angle BEK=45{}^\circ $ екені белгілі болса, онда $CAB$ бұрышының барлық мүмкін мәндерін табыңдар.
комментарий/решение(4)

Есеп №5. Оң бүтін сандар жиынында анықталған және мәндерін оң бүтін сандар жиынынан қабылдайтан, оған қоса кез келген оң бүтін $a$ және $b$ сандары үшін $a$, $f(b)$, $f\left( b+f(a)-1 \right)$ сандары азғындалмаған үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы болатындай, барлық $f$ функциясын анықтаңдар (төбелері бір түзудің бойында жатпайтын үшбұрышты азғындалмаган дейміз).
комментарий/решение(5)

Есеп №6. Әртүрлі оң бүтін ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $, ${{a}_{n}}$ сандары берілген. $M$ жиыны $n-1$ оң бүтін саннан тұрады және $s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$ саны $M$ жиынына еңбейді. Шегіртке нақты сандар өсінің бойымен 0 нүктесінен бастап оңға қарай $n$ рет әйтеуір бір ретпен ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $, ${{a}_{n}}$ ұзындықтарына секіре алады. Шегіртке осы секірулер ретін $M$ жиынының ешбір нүктесіне қонбайтындай етіп таңдай алатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

результаты