Математикадан 50-ші халықаралық олимпиада, 2009 жыл, Бремен

Есеп №1.

$\{ 1,\ldots ,n \}$ жиынынан әртүрлі

${{a}_{1}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{k}}$ натурал сандары алынған; мұндағы

$n$ — натурал сан және

$k\ge 2$ . Егер әрбір

$i=1,\ldots ,k-1$ үшін

${{a}_{i}}\left( {{a}_{i+1}}-1 \right)$ саны

$n$ -ге бөлінетін болса, онда

${{a}_{k}}\left( {{a}_{1}}-1 \right)$ саны

$n$ -ге бөлінбейтінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрін

$O$ деп белгілейік.

$P$ және

$Q$ сәйкесінше

$CA$ және

$AB$ кесінділерінің ішкі нүктелері болсын.

$K$ ,

$L$ және

$M$ нүктелері сәйкесінше

$BP$ ,

$CQ$ және

$PQ$ кесінділерінің ортасы болсын.

$K$ ,

$L$ және

$M$ нүктелері арқылы өтетін шеңберді

$\Gamma$ деп белгілейік. Егер

$PQ$ түзуі

$\Gamma$ шеңберін жанайтын болса, онда

$OP=OQ$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Оң бүтін сандардың қатаң өспелі

${{s}_{1}}$ ,

${{s}_{2}}$ ,

${{s}_{3}}$ ,

$\ldots$ тізбегі берілген, оған қоса

${{s}_{{{s}_{1}}}}$ ,

${{s}_{{{s}_{2}}}}$ ,

${{s}_{{{s}_{3}}}}$ ,

$\ldots$ және

${{s}_{{{s}_{1}}+1}}$ ,

${{s}_{{{s}_{2}}+1}}$ ,

${{s}_{{{s}_{3}}+1}}$ ,

$\ldots$ ішкі тізбектерінің екеуі де арифметикалық прогрессия құрайтыны белгілі. Олай болса,

${{s}_{1}}$ ,

${{s}_{2}}$ ,

${{s}_{3}}$ ,

$\ldots$ тізбегінің өзі де арифметикалық прогрессия құрайтынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)

Есеп №4.

$AB=AC$ болатын

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$CAB$ және

$ABC$ бұрыштарының биссектрисалары

$BC$ және

$CA$ қабырғаларын сәйкесінше

$D$ және

$E$ нүктелерінде қияды.

$K$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі болсын. Егер

$\angle BEK=45{}^\circ$ екені белгілі болса, онда

$CAB$ бұрышының барлық мүмкін мәндерін табыңдар.
комментарий/решение(4)

Есеп №5. Оң бүтін сандар жиынында анықталған және мәндерін оң бүтін сандар жиынынан қабылдайтан, оған қоса кез келген оң бүтін

$a$ және

$b$ сандары үшін

$a$ ,

$f(b)$ ,

$f\left( b+f(a)-1 \right)$ сандары азғындалмаған үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы болатындай, барлық

$f$ функциясын анықтаңдар (төбелері бір түзудің бойында жатпайтын үшбұрышты азғындалмаган дейміз).
комментарий/решение(5)

Есеп №6. Әртүрлі оң бүтін

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{n}}$ сандары берілген.

$M$ жиыны

$n-1$ оң бүтін саннан тұрады және

$s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$ саны

$M$ жиынына еңбейді. Шегіртке нақты сандар өсінің бойымен 0 нүктесінен бастап оңға қарай

$n$ рет әйтеуір бір ретпен

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{n}}$ ұзындықтарына секіре алады. Шегіртке осы секірулер ретін

$M$ жиынының ешбір нүктесіне қонбайтындай етіп таңдай алатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

результаты