Processing math: 66%

50-я Международная Математическая Oлимпиада
Германия, Бремен, 2009 год


Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Пусть P и Q — внутренние точки отрезков CA и AB соответственно. Точки K, L и M — середины отрезков BP, CQ и PQ соответственно, а Γ — окружность, проходящая через точки K, L и M. Известно, что прямая PQ касается окружности Γ. Докажите, что OP=OQ.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
5 года 7 месяца назад #

Из условия следует что M - точка касания, тогда DMQP где D - центр описанной окружности KLM, проведем до пересечения QP с описанной окружностью , пусть она пересекает ее в точках E,F, так же отметим что KML=PAQ (из -за параллельности) и MKL=PML=APQ то есть MKL,APQ подобны значит APAQ=MKML значит APML=AQMK домножим на 2 и учитывая что ML,MK средние линии PQC,BPQ откуда APPC=AQBQ но с другой стороны APPC=(EQ+PQ)PF и AQBQ=EQ(PF+PQ) откуда (EQ+PQ)PF=EQ(PF+PQ) значит EQ=PF откуда следствии равенство треугольников EQO,PFO получаем OP=OQ.

пред. Правка 4   7
4 года 6 месяца назад #

Заметим, что MLPC,2ML=PC MKQB,2MK=QB

Так как Γ касается PQ, то \angle MKL=\angle PML=\angle APQ второе равенство следует из ML\parallel PC, значит \angle MKL=\angle APQ Аналогично \angle MLK=\angle AQP Из двух последних равенств получаем, что \triangle MLK\sim \triangle AQP

Следовательно \frac {ML}{AQ}=\frac{MK}{AP}\implies 2ML×AP=2MK×AQ \implies AP×PC=AQ×QB Поэтому Pow_ω(P)=Pow_ω(Q) где ω - описанная окружность \triangle ABC, а Pow_ω(X) - степень точки X относительно окружности ω.

Тогда OP^2=Pow_ω(P)+R^2=Pow_ω(Q)+R^2=OQ^2\implies OP=OQ , где R - радиус окружности ω.