Математикадан 50-ші халықаралық олимпиада, 2009 жыл, Бремен
Комментарий/решение:
Из условия следует что M - точка касания, тогда DM⊥QP где D - центр описанной окружности KLM, проведем до пересечения QP с описанной окружностью , пусть она пересекает ее в точках E,F, так же отметим что ∠KML=∠PAQ (из -за параллельности) и ∠MKL=∠PML=∠APQ то есть MKL,APQ подобны значит APAQ=MKML значит AP⋅ML=AQ⋅MK домножим на 2 и учитывая что ML,MK средние линии PQC,BPQ откуда AP⋅PC=AQ⋅BQ но с другой стороны AP⋅PC=(EQ+PQ)⋅PF и AQ⋅BQ=EQ⋅(PF+PQ) откуда (EQ+PQ)⋅PF=EQ⋅(PF+PQ) значит EQ=PF откуда следствии равенство треугольников EQO,PFO получаем OP=OQ.
Заметим, что ML∥PC,2ML=PC MK∥QB,2MK=QB
Так как Γ касается PQ, то ∠MKL=∠PML=∠APQ второе равенство следует из ML∥PC, значит ∠MKL=∠APQ Аналогично ∠MLK=∠AQP Из двух последних равенств получаем, что △MLK∼△AQP
Следовательно MLAQ=MKAP⟹2ML×AP=2MK×AQ ⟹AP×PC=AQ×QB Поэтому Powω(P)=Powω(Q) где ω − описанная окружность △ABC, а Powω(X) − степень точки X относительно окружности ω.
Тогда OP2=Powω(P)+R2=Powω(Q)+R2=OQ2⟹OP=OQ , где R − радиус окружности ω.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.