50-я Международная Математическая Oлимпиада
Германия, Бремен, 2009 год
Комментарий/решение:
В силу возрастания прогрессии описанных в условиях, справедливо неравенство sst<sst+1≤sst+1 пусть прогрессии определены как ss1,d1 и ss1+1,d2 соответственно. Тогда неравенство выше можно записать как ss1+d1(n−1)<ss1+1+(n−1)d2≤ss1+nd1 или что тоже самое что 0<ss1+1−ss1+(n−1)(d2−d1)≤d1 (1) откуда ss1−ss1+1+d1(n−1)n−1<d2≤ss1−ss1+1+d1nn−1 при n−>+∞ выполняется d1−>d2 при фиксированных ss1,ss1+1 то есть при d1>d2,d1<d2 неравенство (1) выполняется не для всех n.
Рассмотрим случай когда d1=d2=d , пусть kt>0 целое не постоянное число на которое увеличивается индекс прогрессии ss1+kt так же пусть ss1=a,ss1+1=b положим что s1,s2,...sn не арифметическая прогрессия, тогда если b−a≠d (следует из того что sst+1≠sst+1 или b+d(n−1)≠a+dn) тогда sst+1≠sst+1 тогда в таком построении kt≠1 иначе sst+1=sst+1 что противоречит условия возрастания, в случае b−a=d то kt=1 но тогда это противоречит тому что прогрессия не арифметическая, так как последовательность s1,s2,..sn будет арифметической с разностью 1.
Покажем что если в данной прогрессии есть kt=2 то найдется и kt′=1 (которая не удовлетворяет условию)
Доказательство: если kt=2 тогда между каким-то членами последовательности sn а именно ssα+1 и ssα+1 которая удовлетворяет условию q=sα+1−ssα+1=a+d−b−1 должно уместиться q количество наборов чисел что ssα+1+k1+k2+...kq=ssα+1 но тогда ssα+1−ssα+1q=a+d−ba+d−b−1=1+1a+d−b−1<2 тогда по принципу Дирихле в q найдется как минимум одно kt′=1.
Значит kt=2 не может быть в прогрессии sst, тогда kt≥3. Рассмотрим при каких k можно будет расположить в системе двух а.п такие kt≥3, для этого условия требуется чтобы ssl+1 до ssl+1=ssl+kt выполнялось для индексов условие ssl+1+3(k−1)≤ssl+kt или k≤[a+d−b+33] то есть при 3≤k≤[a+d−b+33] следует что kt≥3 аналогично при x≤k≤[a+d−b+xx] для kt≥x (2) , расставив числа которые может принимать kt в ряд [3,4,5,...,a+d−b+33] , если a+d−b>6 то следует из того что a+d−b3−1>a+d−b+33 то какие то значение k выйдет за пределы a+d−b+33−1 а это значит они попадут в предел значения kt≥2 то есть какие то kt=2 по принципу Дирихле (что нельзя), случай a+d−b<6 рассматривается аналогично, так продолжая и отсекая числа которые может принимать k по тому же принципу получим что какие бы не брали k из списка, процесс всегда будет последовательно приводит к kt=1 (что нельзя) по построению.
Единственный возможный случай когда a+d−bk−1=k так как по принципу Дирихле оно не попадет не в одно из стертых чисел в ряду, то есть получили k+k+k+...+k=a+d−b где всего k−1 слагаемых, если убавлять и прибавлять по 1 то обязательно попадет в одно из стертых чисел, которая приведет как было раннее сказано к случаю kt=1, но тогда k постоянная , то есть арифметическая прогрессия, тогда s1,s2,...sn прогрессия с разностью d′=k.
Пусть s(m)=sm. Из условия следует, что s(m)−s(n)≥m−n,∀m≥n∈N.
Claim 1. Последовательности {s(si)}i≥1 и {s(si+1)}i≥1 имеют одинаковую разность d.
Пусть s(si+1)−s(si)=A и s(si+1+1)−s(si+1)=B ⟹s(si)=s(s1)+A(i−1) и s(si+1)=s(s1+1)+B(i−1)
Выпишем следующие неравенства:
si+1≥si+1>si⟹s(si+1)≥s(si+1)>s(si)
⟹s(s1)+Ai≥(s(s1+1)−B)+Bi>(s(s1)−A)+Ai
⟹(s(s1+1)−B)−(s(s1)−A)>(A−B)i≥(s(s1+1)−B)−s(s1),∀i∈N.
То есть (A−B)i ограничен с обоих сторон для любого натурального i, значит A=B=d. ◻
Отсюда можем заметить, что s(sk+1)−s(sk)=s(s1+1)−s(s1)=const.
(ii) Заменим si+1−si=di>0. Заметим, что
d=s(si+1)−s(si)≥si+1−si=di,
откуда последовательность di ограничена. Пусть min и \max d_i = M.
(iii) Давайте оценим d= s(s_{j+1})-s(s_j):
\left\{ \begin{gathered} (1,j): d = s(s_{j+1})-s(s_j) = \sum_{i=s_j}^{s_{j+1}-1} d_i \ge \sum_{i=s_j}^{s_{j+1}-1} m = m(s_{j+1}-s_j)=md_j, \forall j\in\mathbb N \\ (2,j): d = s(s_{j+1})-s(s_j) = \sum_{i=s_j}^{s_{j+1}-1} d_i \le \sum_{i=s_j}^{s_{j+1}-1} M = M(s_{j+1}-s_j)=Md_j, \forall j\in\mathbb N. \\ \end{gathered} \right.
Откуда подбирая u и v, что d(u)=M и d(v)=m из (1,u) и (2,v) выводим, что mM\le d \le mM\implies d=mM.
Откуда d_i=m,\forall i=s_u,...,s_{u+1}-1\implies m=s(s_u+1)-s(s_u)=const.
Также d_i=M,\forall i=s_v,...,s_{v+1}-1\implies M=s(s_v+1)-s(s_v)=const.
Значит m=M\implies d_i=M,\forall i\in\mathbb N, следовательно \{s_i\} - арифметическая прогрессия.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.