Processing math: 87%

50-я Международная Математическая Oлимпиада
Германия, Бремен, 2009 год


Дана строго возрастающая последовательность целых положительных чисел s1, s2, s3, такая, что каждая из двух последовательностей ss1, ss2, ss3, и ss1+1, ss2+1, ss3+1, является арифметической прогрессией. Докажите, что последовательность s1, s2, s3, также является арифметической прогрессией.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   5
4 года 11 месяца назад #

В силу возрастания прогрессии описанных в условиях, справедливо неравенство sst<sst+1sst+1 пусть прогрессии определены как ss1,d1 и ss1+1,d2 соответственно. Тогда неравенство выше можно записать как ss1+d1(n1)<ss1+1+(n1)d2ss1+nd1 или что тоже самое что 0<ss1+1ss1+(n1)(d2d1)d1 (1) откуда ss1ss1+1+d1(n1)n1<d2ss1ss1+1+d1nn1 при n>+ выполняется d1>d2 при фиксированных ss1,ss1+1 то есть при d1>d2,d1<d2 неравенство (1) выполняется не для всех n.

Рассмотрим случай когда d1=d2=d , пусть kt>0 целое не постоянное число на которое увеличивается индекс прогрессии ss1+kt так же пусть ss1=a,ss1+1=b положим что s1,s2,...sn не арифметическая прогрессия, тогда если bad (следует из того что sst+1sst+1 или b+d(n1)a+dn) тогда sst+1sst+1 тогда в таком построении kt1 иначе sst+1=sst+1 что противоречит условия возрастания, в случае ba=d то kt=1 но тогда это противоречит тому что прогрессия не арифметическая, так как последовательность s1,s2,..sn будет арифметической с разностью 1.

Покажем что если в данной прогрессии есть kt=2 то найдется и kt=1 (которая не удовлетворяет условию)

Доказательство: если kt=2 тогда между каким-то членами последовательности sn а именно ssα+1 и ssα+1 которая удовлетворяет условию q=sα+1ssα+1=a+db1 должно уместиться q количество наборов чисел что ssα+1+k1+k2+...kq=ssα+1 но тогда ssα+1ssα+1q=a+dba+db1=1+1a+db1<2 тогда по принципу Дирихле в q найдется как минимум одно kt=1.

Значит kt=2 не может быть в прогрессии sst, тогда kt3. Рассмотрим при каких k можно будет расположить в системе двух а.п такие kt3, для этого условия требуется чтобы ssl+1 до ssl+1=ssl+kt выполнялось для индексов условие ssl+1+3(k1)ssl+kt или k[a+db+33] то есть при 3k[a+db+33] следует что kt3 аналогично при xk[a+db+xx] для ktx (2) , расставив числа которые может принимать kt в ряд [3,4,5,...,a+db+33] , если a+db>6 то следует из того что a+db31>a+db+33 то какие то значение k выйдет за пределы a+db+331 а это значит они попадут в предел значения kt2 то есть какие то kt=2 по принципу Дирихле (что нельзя), случай a+db<6 рассматривается аналогично, так продолжая и отсекая числа которые может принимать k по тому же принципу получим что какие бы не брали k из списка, процесс всегда будет последовательно приводит к kt=1 (что нельзя) по построению.

Единственный возможный случай когда a+dbk1=k так как по принципу Дирихле оно не попадет не в одно из стертых чисел в ряду, то есть получили k+k+k+...+k=a+db где всего k1 слагаемых, если убавлять и прибавлять по 1 то обязательно попадет в одно из стертых чисел, которая приведет как было раннее сказано к случаю kt=1, но тогда k постоянная , то есть арифметическая прогрессия, тогда s1,s2,...sn прогрессия с разностью d=k.

пред. Правка 2   12
2 года 2 месяца назад #

Пусть s(m)=sm. Из условия следует, что s(m)s(n)mn,mnN.

Claim 1. Последовательности {s(si)}i1 и {s(si+1)}i1 имеют одинаковую разность d.

Пусть s(si+1)s(si)=A и s(si+1+1)s(si+1)=B s(si)=s(s1)+A(i1) и s(si+1)=s(s1+1)+B(i1)

Выпишем следующие неравенства:

si+1si+1>sis(si+1)s(si+1)>s(si)

s(s1)+Ai(s(s1+1)B)+Bi>(s(s1)A)+Ai

(s(s1+1)B)(s(s1)A)>(AB)i(s(s1+1)B)s(s1),iN.

То есть (AB)i ограничен с обоих сторон для любого натурального i, значит A=B=d.  

Отсюда можем заметить, что s(sk+1)s(sk)=s(s1+1)s(s1)=const.

(ii) Заменим si+1si=di>0. Заметим, что

d=s(si+1)s(si)si+1si=di,

откуда последовательность di ограничена. Пусть min и \max d_i = M.

(iii) Давайте оценим d= s(s_{j+1})-s(s_j):

\left\{ \begin{gathered} (1,j): d = s(s_{j+1})-s(s_j) = \sum_{i=s_j}^{s_{j+1}-1} d_i \ge \sum_{i=s_j}^{s_{j+1}-1} m = m(s_{j+1}-s_j)=md_j, \forall j\in\mathbb N \\ (2,j): d = s(s_{j+1})-s(s_j) = \sum_{i=s_j}^{s_{j+1}-1} d_i \le \sum_{i=s_j}^{s_{j+1}-1} M = M(s_{j+1}-s_j)=Md_j, \forall j\in\mathbb N. \\ \end{gathered} \right.

Откуда подбирая u и v, что d(u)=M и d(v)=m из (1,u) и (2,v) выводим, что mM\le d \le mM\implies d=mM.

Откуда d_i=m,\forall i=s_u,...,s_{u+1}-1\implies m=s(s_u+1)-s(s_u)=const.

Также d_i=M,\forall i=s_v,...,s_{v+1}-1\implies M=s(s_v+1)-s(s_v)=const.

Значит m=M\implies d_i=M,\forall i\in\mathbb N, следовательно \{s_i\} - арифметическая прогрессия.

  6
2 года 2 месяца назад #

не понял, но выглядит жестока