қазақша
русскийМатематикадан 44-ші халықаралық олимпиада, 2003 жыл, Токио
Есеп №1. $A$ жиыны дәл 101 элементі бар $S=\left\{ 1,2,\ldots ,1000000 \right\}$ жиынының ішкі жиыны болсын. $j=1,2,\ldots ,100$ үшін ${{A}_{j}}=\left\{ x+{{t}_{i}}|x\in A \right\}$ жиынының элементтері өзара қиылыспайтындай $S$ жиынынан ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$, $\ldots $, ${{t}_{100}}$ сандары табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $\dfrac{{{a}^{2}}}{2a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}+1}$ саны натурал болатындай барлық $\left( a,b \right)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №3. Әрбір үш қарсы қабырғалар жұптары үшін келесі шарттар орындалатындай дөңес алтыбұрышы берілген: осы қабырғалардың орталарын қосатын кесінділердің осы қабырғалар ұзындықтарының қосындысына қатынасы $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ -- ге тең. Алтыбұрыштың барлық бұрыштары тең екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $ABCD$ — іштей сызылған төртбұрыш. $P$, $Q$ және $R$ арқылы $D$ нүктесінен сәйкесінше $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларына түсірілген перпендикулярлар табандарын белгілейік. Дәлелдеңіздер: $PQ=QR$ теңдігі орындалады тек және тек сонда ғана, егер $ABC$ және $ADC$ бұрыштарының биссектрисалары $AC$ түзуінде қиылысса.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $n$ саны натурал және ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, $\ldots $, ${{x}_{n}}$ сандары ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}}$ орындалатындай нақты сандар болсын.
а) ${{\left( \sum\limits_{i,j=1}^{n}{|}{{x}_{i}}-{{x}_{j}}| \right)}^{2}}\le \dfrac{2({{n}^{2}}-1)}{3}\sum\limits_{i,j=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-{{x}_{j}})}^{2}}}$ екенін дәлелдеңіздер.
б) Дәлелдеңіздер: теңдік жағдайына келеді тек және тек сонда ғана, егер ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, $\ldots $, ${{x}_{n}}$ саны арифметикалық прогрессия құраса.
комментарий/решение
а) ${{\left( \sum\limits_{i,j=1}^{n}{|}{{x}_{i}}-{{x}_{j}}| \right)}^{2}}\le \dfrac{2({{n}^{2}}-1)}{3}\sum\limits_{i,j=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-{{x}_{j}})}^{2}}}$ екенін дәлелдеңіздер.
б) Дәлелдеңіздер: теңдік жағдайына келеді тек және тек сонда ғана, егер ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, $\ldots $, ${{x}_{n}}$ саны арифметикалық прогрессия құраса.
комментарий/решение
Есеп №6. $p$ саны жай сан болсын. Кез келген $n$ натурал саны үшін ${{n}^{p}}-p$ саны $q$ санына бөлінбейтіндей $q$ жай саны табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)