44-я Международная Математическая OлимпиадаЯпония, Токио, 2003 год

Найдите все такие пары $\left( a,b \right)$ натуральных чисел, что число $\dfrac{{{a}^{2}}}{2a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}+1}$ является натуральным.

Комментарий/решение

Единственные решения имеют вид $(а,б) = (2n,1)$, $(а,б) = (п,2п)$и $(8n^4-n,2n)$для любого положительного целого числа $n$.

Во- первых, отметим, что при $б=1$, данное выражение эквивалентно $а/2$, которое является целым числом тогда и только тогда , когда $а$оно четно.

Теперь предположим, что $(а,б)$это решение не вида $(2n,1)$. Мы уже дали все решения для $б=1$; то для этого нового решения мы должны иметь $b>1$. Обозначим\[\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1} = k.\]Обозначим\[P(t) = t^2 - 2kb^2 t + k(b^3-1).\]Поскольку $к(б^3-1) >0$, и $а$является положительным целым корнем из $P$, должен быть какой-то другой корень $а'$из $P$.

Без ограничения общности пусть $а'\гэ$. Тогда $a^2 \le aa' = k(b^3-1)$, так\[k = \frac{a^2}{2ab^2-b^3+1} \le k \frac{b^3-1}{2ab^2-b^3+1},\]или\[2ab^2 - (b^3-1) \le b^3-1,\]который сводится к\[a \le b - \frac{1}{b^2} < b .\]Отсюда следует, что\[0 < 2ab^2 -b^3 + 1 \le a^2 < b^2 ,\]или\[0 < (2a-b)b^2 + 1 <b^2 .\]Так как $а$и $b$являются целыми числами, это может произойти только тогда, когда $2ab=0$, поэтому $(а,б)$можно записать как $(n,2n)$, и $к = п^2$. Отсюда следует, что\[a' = \frac{k(b^3-1)}{a} = 8n^4-n.\]Так $а'$как другой корень из $P$, то $(а',б)$также удовлетворяет условию задачи. Поэтому решения точно те, которые даны в начале решения.

П это n

К это k

Alikhan Serik зачем вы скопировали решения с офицального и перевели с гугл переводчик и даже поленились подправить некоторые ошибки с перевода и нормально не написали на $LaTeX$ ?

Ещё как на нижнию комментарий поставили 4 лайка?

Астана БИЛ момент)