Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 44-ші халықаралық олимпиада, 2003 жыл, Токио


a22ab2b3+1 саны натурал болатындай барлық (a,b) натурал сандар жұптарын табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  17
2 года 5 месяца назад #

Единственные решения имеют вид (а,б)=(2n,1), (а,б)=(п,2п)и (8n4n,2n)для любого положительного целого числа n.

Во- первых, отметим, что при б=1, данное выражение эквивалентно а/2, которое является целым числом тогда и только тогда , когда аоно четно.

Теперь предположим, что (а,б)это решение не вида (2n,1). Мы уже дали все решения для б=1; то для этого нового решения мы должны иметь b>1. Обозначимa22ab2b3+1=k.ОбозначимP(t)=t22kb2t+k(b31).Поскольку к(б31)>0, и аявляется положительным целым корнем из P, должен быть какой-то другой корень аиз P.

Без ограничения общности пусть аэ. Тогда a2aa=k(b31), такk=a22ab2b3+1kb312ab2b3+1,или2ab2(b31)b31,который сводится кab1b2<b.Отсюда следует, что0<2ab2b3+1a2<b2,или0<(2ab)b2+1<b2.Так как аи bявляются целыми числами, это может произойти только тогда, когда 2ab=0, поэтому (а,б)можно записать как (n,2n), и к=п2. Отсюда следует, чтоa=k(b31)a=8n4n.Так акак другой корень из P, то (а,б)также удовлетворяет условию задачи. Поэтому решения точно те, которые даны в начале решения.

  14
2 года 5 месяца назад #

П это n

К это k

  3
2 года 4 месяца назад #

Alikhan Serik зачем вы скопировали решения с офицального и перевели с гугл переводчик и даже поленились подправить некоторые ошибки с перевода и нормально не написали на LaTeX ?

  4
2 года 4 месяца назад #

Ещё как на нижнию комментарий поставили 4 лайка?

  1
2 года 4 месяца назад #

Астана БИЛ момент)