Математикадан 44-ші халықаралық олимпиада, 2003 жыл, Токио
Комментарий/решение:
Единственные решения имеют вид (а,б)=(2n,1), (а,б)=(п,2п)и (8n4−n,2n)для любого положительного целого числа n.
Во- первых, отметим, что при б=1, данное выражение эквивалентно а/2, которое является целым числом тогда и только тогда , когда аоно четно.
Теперь предположим, что (а,б)это решение не вида (2n,1). Мы уже дали все решения для б=1; то для этого нового решения мы должны иметь b>1. Обозначимa22ab2−b3+1=k.ОбозначимP(t)=t2−2kb2t+k(b3−1).Поскольку к(б3−1)>0, и аявляется положительным целым корнем из P, должен быть какой-то другой корень а′из P.
Без ограничения общности пусть а′\гэ. Тогда a2≤aa′=k(b3−1), такk=a22ab2−b3+1≤kb3−12ab2−b3+1,или2ab2−(b3−1)≤b3−1,который сводится кa≤b−1b2<b.Отсюда следует, что0<2ab2−b3+1≤a2<b2,или0<(2a−b)b2+1<b2.Так как аи bявляются целыми числами, это может произойти только тогда, когда 2ab=0, поэтому (а,б)можно записать как (n,2n), и к=п2. Отсюда следует, чтоa′=k(b3−1)a=8n4−n.Так а′как другой корень из P, то (а′,б)также удовлетворяет условию задачи. Поэтому решения точно те, которые даны в начале решения.
Alikhan Serik зачем вы скопировали решения с офицального и перевели с гугл переводчик и даже поленились подправить некоторые ошибки с перевода и нормально не написали на LaTeX ?
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.