44-я Международная Математическая Oлимпиада
Япония, Токио, 2003 год

Задача №1.  Пусть $A$ — подмножество множества $S=\left\{ 1,2,\ldots ,1000000 \right\}$, содержащее в точности 101 элемент. Докажите, что найдутся такие числа ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$, $\ldots $, ${{t}_{100}}$ из $S$ что множества ${{A}_{j}}=\left\{ x+{{t}_{i}}|x\in A \right\}$ для $j=1,2,\ldots ,100$ будут попарно не пересекающимися.
комментарий/решение

---

Задача №2.  Найдите все такие пары $\left( a,b \right)$ натуральных чисел, что число $\dfrac{{{a}^{2}}}{2a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}+1}$ является натуральным.
комментарий/решение(5)

---

Задача №3.  Дан выпуклый шестиугольник, у которого для каждой из трех пар противоположных сторон выполняется условие: отношение расстояния между серединами этих сторон к сумме длин этих сторон равно $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Докажите, что все углы этого шестиугольника равны.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Пусть $ABCD$ — вписанный четырехугольник. Обозначим через $P$, $Q$ и $R$ основания перпендикуляров, опущенных из точки $D$ на прямые $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Докажите, что $PQ=QR$ тогда и только тогда, когда биссектрисы углов $ABC$ и $ADC$ пересекаются на прямой $AC$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Пусть $n$ — натуральное число и ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, $\ldots $, ${{x}_{n}}$ такие действительные числа, что ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}}$.
а) Докажите, что ${{\left( \sum\limits_{i,j=1}^{n}{|}{{x}_{i}}-{{x}_{j}}| \right)}^{2}}\le \dfrac{2({{n}^{2}}-1)}{3}\sum\limits_{i,j=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-{{x}_{j}})}^{2}}}.$
б) Докажите, что равенство достигается тогда и только тогда, когда числа ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, $\ldots $, ${{x}_{n}}$ образуют арифметическую прогрессию.
комментарий/решение

---

Задача №6.  Пусть $p$ — простое число. Докажите, что существует такое простое число $q$, что при любом целом $n$ число ${{n}^{p}}-p$ не делится на $q$.
комментарий/решение(3)

---