Математикадан 44-ші халықаралық олимпиада, 2003 жыл, Токио

Есеп №1.

$A$ жиыны дәл 101 элементі бар

$S=\left\{ 1,2,\ldots ,1000000 \right\}$ жиынының ішкі жиыны болсын.

$j=1,2,\ldots ,100$ үшін

${{A}_{j}}=\left\{ x+{{t}_{i}}|x\in A \right\}$ жиынының элементтері өзара қиылыспайтындай

$S$ жиынынан

${{t}_{1}}$ ,

${{t}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{t}_{100}}$ сандары табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №2.

$\dfrac{{{a}^{2}}}{2a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}+1}$ саны натурал болатындай барлық

$\left( a,b \right)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(5)

Есеп №3. Әрбір үш қарсы қабырғалар жұптары үшін келесі шарттар орындалатындай дөңес алтыбұрышы берілген: осы қабырғалардың орталарын қосатын кесінділердің осы қабырғалар ұзындықтарының қосындысына қатынасы

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ -- ге тең. Алтыбұрыштың барлық бұрыштары тең екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №4.

$ABCD$ — іштей сызылған төртбұрыш.

$P$ ,

$Q$ және

$R$ арқылы

$D$ нүктесінен сәйкесінше

$BC$ ,

$CA$ және

$AB$ қабырғаларына түсірілген перпендикулярлар табандарын белгілейік. Дәлелдеңіздер:

$PQ=QR$ теңдігі орындалады тек және тек сонда ғана, егер

$ABC$ және

$ADC$ бұрыштарының биссектрисалары

$AC$ түзуінде қиылысса.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$n$ саны натурал және

${{x}_{1}}$ ,

${{x}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{x}_{n}}$ сандары

${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}}$ орындалатындай нақты сандар болсын.
а)

${{\left( \sum\limits_{i,j=1}^{n}{|}{{x}_{i}}-{{x}_{j}}| \right)}^{2}}\le \dfrac{2({{n}^{2}}-1)}{3}\sum\limits_{i,j=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-{{x}_{j}})}^{2}}}$ екенін дәлелдеңіздер.
б) Дәлелдеңіздер: теңдік жағдайына келеді тек және тек сонда ғана, егер

${{x}_{1}}$ ,

${{x}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{x}_{n}}$ саны арифметикалық прогрессия құраса.
комментарий/решение

Есеп №6.

$p$ саны жай сан болсын. Кез келген

$n$ натурал саны үшін

${{n}^{p}}-p$ саны

$q$ санына бөлінбейтіндей

$q$ жай саны табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

результаты