Математикадан 44-ші халықаралық олимпиада, 2003 жыл, Токио
ABCD — іштей сызылған төртбұрыш. P, Q және R арқылы D нүктесінен сәйкесінше BC, CA және AB қабырғаларына түсірілген перпендикулярлар табандарын белгілейік. Дәлелдеңіздер: PQ=QR теңдігі орындалады тек және тек сонда ғана, егер ABC және ADC бұрыштарының биссектрисалары AC түзуінде қиылысса.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Допустим, что биссектрисы углов ABC, ADC пересекаются с AC в точках L и M соответственно. Так как AL:CL=AB:CB, AM:CM=AD:CD, совпадение точек L и M означает равенство AB:CB=AD:CD ⇔ AB/timesCD=CB/timesAD.
Пусть ∠CAB = α, ∠ACD = γ. Круги, построенные на DC и DA как на диаметрах содержат точки P, Q и Q, R соответственно. Следовательно, угол PDQ равен γ или π – γ, а угол QDR равен α или π – α. Значит, PQ = CD sin γ, QR = AD sin α. Таким образом, равенство PQ = QR равносильно условию CD : AD = sin α : sin γ. С другой стороны, по теореме синусов sin α : sin γ = CB : AB. Итак, равенство PQ = QR равносильно равенству CD : AD = CB : AB, то есть равенству AB /times CD = CB /times AD, что нам и требуется.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.