44-я Международная Математическая OлимпиадаЯпония, Токио, 2003 год

Пусть $ABCD$ — вписанный четырехугольник. Обозначим через $P$, $Q$ и $R$ основания перпендикуляров, опущенных из точки $D$ на прямые $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Докажите, что $PQ=QR$ тогда и только тогда, когда биссектрисы углов $ABC$ и $ADC$ пересекаются на прямой $AC$.

Комментарий/решение

Допустим, что биссектрисы углов $ABC$, $ADC$ пересекаются с $AC$ в точках $L$ и $M$ соответственно. Так как $AL : CL = AB : CB$, $AM : CM = AD : CD$, совпадение точек $L$ и $M$ означает равенство $AB : CB = AD : CD$ ⇔ $AB /times CD = CB /times AD$.

Пусть $∠CAB = α$, $∠ACD = γ$. Круги, построенные на $DC$ и $DA$ как на диаметрах содержат точки $P$, $Q$ и $Q$, $R$ соответственно. Следовательно, угол $PDQ$ равен $γ$ или $π – γ$, а угол $QDR$ равен $α$ или $π – α$. Значит, $PQ = CD sin γ$, $QR = AD sin α$. Таким образом, равенство $PQ = QR$ равносильно условию $CD : AD = sin α : sin γ$. С другой стороны, по теореме синусов $sin α : sin γ = CB : AB$. Итак, равенство $PQ = QR$ равносильно равенству $CD : AD = CB : AB$, то есть равенству $AB /times CD = CB /times AD$, что нам и требуется.