Математикадан 40-шы халықаралық олимпиада, 1999 жыл, Бухарест

Есеп №1. Келесі шарттарды қанағаттандыратындай кем дегенде үш нүктесі бар, жазықтықтағы барлық ақырлы

$S$ нүктелер жиынын табыңыздар: кез келген

$S$ жиынының әр түрлі

$A$ және

$B$ нүктелері үшін

$AB$ кесіндісінің орта перпендикуляры

$S$ жиынының симметрия осі болып табылады.
комментарий/решение

Есеп №2.

$n\ge 2$ болатын

$n$ бүтін саны берілсін.
а) Барлық теріс емес

${{x}_{1}}$ ,

${{x}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{x}_{n}}$ нақты сандары үшін

$\sum\limits_{i < j}{{{x}_{i}}}{{x}_{j}}\left( x_{i}^{2}+x_{j}^{2} \right)\le C{{\left( \sum\limits_{i}{{{x}_{i}}} \right)}^{4}} \qquad (1)$ теңсіздігі орындалатындай

$C$ ең үлкен мәнін табыңыздар.
б) Табылған

$C$ мәні үшін (1) теңсіздігі теңдікке айналатындай шартты анықтаңыз.
комментарий/решение

Есеп №3. Өлшемі

$n\times n$ болатын тор көзді қағаз квадраттық кестесінің әрбір тордың(белгіленген немесе белгіленбеген) кем дегенде бір белгіленген көрші торы болатындай

$N$ тор белгіленген, мұндағы

$n$ — жұп сан. (Көршілес торлар деп қабырғалары ортақ торларды айтамыз.)

$N$ санының мүмкін болатын ең кіші мәнін табыңыздар.
комментарий/решение

Есеп №4.

$n\le 2p$ теңсіздігі орындалатындай және

${{\left( p-1 \right)}^{n}}+1$ саны

${{n}^{p-1}}$ --ге бөлінетіндей барлық

$\left( n,p \right)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар. Мұндағы

$p$ — жай сан.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$\Gamma$ шеңберінің ішінде орналасқан

${{\Gamma }_{1}}$ және

${{\Gamma }_{2}}$ шеңберлері

$\Gamma$ шеңберін сәйкесінше

$M$ және

$N$ нүктелерінде жанайды.

${{\Gamma }_{1}}$ шеңбері

${{\Gamma }_{2}}$ шеңберінің центрі арқылы өтеді.

${{\Gamma }_{1}}$ және

${{\Gamma }_{2}}$ шеңберлерінің қиылысу нүктелері арқылы өткен түзу

$\Gamma$ шеңберін

$A$ және

$B$ нүктелерінде қияды.

$MA$ және

$MB$ түзулері

${{\Gamma }_{1}}$ шеңберін сәйкесінше

$C$ және

$D$ нүктелерінде қияды.

$CD$ түзуі

${{\Gamma }_{2}}$ шеңберін жанайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Барлық

$x,y\in \mathbb{R}$ үшін

$f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$ теңдігі орындалатындай барлық

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

результаты