40-я Международная Математическая OлимпиадаРумыния, Бухарест, 1999 год

Найдите все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ такие, что $$f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$$ для всех $x,y\in \mathbb{R}$.

Комментарий/решение

Ответ. $f(x)=1-\frac{x^2}2\forall x\in \mathbb{R}$

Пусть $P(x,y)$ обозначает данное равенство.

Утверждение 1. разность $f(x)-f(y)$ сюрьективна.

Для доказательства перепишем данное уравнение в виде $f(x-f(y))-f(x)=f(f(y))+xf(y)-1$. Очевидно, что найдётся такой $y$, что $f(y)\neq0$(иначе $0=-1$), тогда фиксируя $y$ и меняя $x$ от $-\infty$ до $+\infty$, получаем требуемое.

Утверждение 2. $f(x)=f(-x)$.

$P(f(x),y)$ и $P(f(y),x)$, вместе с утверждением 1 дают требуемое. $\square$

$$P(0,y)\rightarrow f(0)=1$$ $$P(f(x),x)\rightarrow f(f(x))=1-\frac{f(x)^2}2$$ $$P(f(x),y)\rightarrow f(f(x)-f(y))=1-\frac{(f(x)-f(y))^2}{2}$$ и наконец, используя утверждение 1, получаем ответ. Осталось только проверить его, что совсем несложно.