Processing math: 100%

40-я Международная Математическая Oлимпиада
Румыния, Бухарест, 1999 год


Задача №1.  Найдите все конечные множества S точек плоскости, содержащие не менее трех точек, удовлетворяющие следующему условию: для любых двух различных точек A и B из множества S серединный перпендикуляр к отрезку AB является осью симметрии множества S.
комментарий/решение
Задача №2.  Пусть n — целое число, n2.
а) Найдите наибольшее число C такое, что неравенство i<jxixj(x2i+x2j)C(ixi)4(1) выполняется для всех неотрицательных действительных чисел x1, x2, , xn.
б) Для найденного числа C определите условие, при котором неравенство (1) обращается в равенство.
комментарий/решение
Задача №3.  В квадрате клетчатой бумаги размером n×n клеток, где n — четное число, отмечены N клеток таким образом, что каждая клетка квадрата (отмеченная или неотмеченная) имеет хотя бы одну отмеченную соседнюю клетку. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.) Определите наименьшее возможное значение N.
комментарий/решение
Задача №4.  Найдите все пары (n,p) натуральных чисел такие, что p — простое, n2p и (p1)n+1 делится на np1.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Две окружности Γ1 и Γ2, содержащиеся внутри окружности Γ, касаются Γ в различных точках M и N соответственно. Окружность Γ1 проходит через центр окружности Γ2. Прямая, проходящая через две точки пересечения окружностей Γ1 и Γ2, пересекает окружность Γ в точках A и B. Прямые MA и MB пересекают Γ1 в точках C и D соответственно. Докажите, что CD касается Γ2.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Найдите все функции f:RR такие, что f(xf(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)1 для всех x,yR.
комментарий/решение(1)
результаты