40-я Международная Математическая Oлимпиада
Румыния, Бухарест, 1999 год
Задача №1. Найдите все конечные множества S точек плоскости, содержащие не менее трех точек, удовлетворяющие следующему условию: для любых двух различных точек A и B из множества S серединный перпендикуляр к отрезку AB является осью симметрии множества S.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Пусть n — целое число, n≥2.
а) Найдите наибольшее число C такое, что неравенство ∑i<jxixj(x2i+x2j)≤C(∑ixi)4(1) выполняется для всех неотрицательных действительных чисел x1, x2, …, xn.
б) Для найденного числа C определите условие, при котором неравенство (1) обращается в равенство.
комментарий/решение
а) Найдите наибольшее число C такое, что неравенство ∑i<jxixj(x2i+x2j)≤C(∑ixi)4(1) выполняется для всех неотрицательных действительных чисел x1, x2, …, xn.
б) Для найденного числа C определите условие, при котором неравенство (1) обращается в равенство.
комментарий/решение
Задача №3. В квадрате клетчатой бумаги размером n×n клеток, где n — четное число, отмечены N клеток таким образом, что каждая клетка квадрата (отмеченная или неотмеченная) имеет хотя бы одну отмеченную соседнюю клетку. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.) Определите наименьшее возможное значение N.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Найдите все пары (n,p) натуральных чисел такие, что p — простое, n≤2p и (p−1)n+1 делится на np−1.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Две окружности Γ1 и Γ2, содержащиеся внутри окружности Γ, касаются Γ в различных точках M и N соответственно. Окружность Γ1 проходит через центр окружности Γ2. Прямая, проходящая через две точки пересечения окружностей Γ1 и Γ2, пересекает окружность Γ в точках A и B. Прямые MA и MB пересекают Γ1 в точках C и D соответственно. Докажите, что CD касается Γ2.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Найдите все функции f:R→R такие, что f(x−f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)−1
для всех x,y∈R.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)