Математикадан 40-шы халықаралық олимпиада, 1999 жыл, Бухарест

$\Gamma$ шеңберінің ішінде орналасқан ${{\Gamma }_{1}}$ және ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберлері $\Gamma$ шеңберін сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелерінде жанайды. ${{\Gamma }_{1}}$ шеңбері ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберінің центрі арқылы өтеді. ${{\Gamma }_{1}}$ және ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберлерінің қиылысу нүктелері арқылы өткен түзу $\Gamma$ шеңберін $A$ және $B$ нүктелерінде қияды. $MA$ және $MB$ түзулері ${{\Gamma }_{1}}$ шеңберін сәйкесінше $C$ және $D$ нүктелерінде қияды. $CD$ түзуі ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберін жанайтынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$NA \cap \Gamma_2=P,NB \cap \Gamma_2=Q$.

$(i):$

Используем широко известную лемму и ее следствие:

(Лемма Архимеда) Пусть окружность $\omega_1$ касается окружности $\omega$ в точке $P$ ( $\omega_1$ внутри $\omega$). Пусть хорда $AB$ окружности $\omega$ касается $\omega_1$ в точке $Q$. Тогда $PQ$ проходит через середину дуги $AB$.

(Следствие) Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ находятся внутри окружности $\omega$ и касаются ее. Тогда их радикальная ось проходит через середину дуги, отсекаемой одной из общих внешних касательных.

Тем самым имеем, что раз $MC$ и $NP$ проходят через $A$ то $CP$ общая внешняя касательная к $\Gamma_1,\Gamma_2$. Таким же образом $DQ$ их общая внешняя касательная.

$(ii):$

Требуется установить, что $\Gamma_2$ - вписанная окружность треугольника, образованного прямыми $CP,DQ,CD$. Это известный факт:

Пусть $I$ - инцентр $ABC$ $(AB=AC)$. Тогда окружность, касающаяся $AB,AC$ в $B,C$ соответственно проходит через $I$. Это завершает доказательство, так как $\Gamma_1$ проходит через центр $\Gamma_2$.