Математикадан 40-шы халықаралық олимпиада, 1999 жыл, Бухарест
n≤2p теңсіздігі орындалатындай және (p−1)n+1 саны np−1 --ге бөлінетіндей барлық (n,p) натурал сандар жұптарын табыңыздар. Мұндағы p — жай сан.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим, что если n=1, то любые значения p подходят.
Пусть p=2. Тогда легко проверить, что n=1,2. Пусть p>2.
Заметим, что тогда (p−1)n+1 нечётное, а значит n тоже нечетное(поэтому n<2p). Возьмём наименьший делитель числа n. Пусть он равен q. Заметим, что (p-1)^{2n} \equiv 1 \pmod {q}. Получаем, что показатель числа (p-1) по модулю q равен 2. Отсюда два случая:
1) p \equiv 0 \pmod {q}
2) p \equiv 2 \pmod {q}
Заметим, что если 2-ой случай выполняется, то (p-1)^n+1 \equiv 0 \pmod {q} ,что невозможно, так как n нечетное. Значит n=pa ,но n<2p. Значит n=p.
По LTE мы знаем, что степень вхождения числа p в число (p-1)^p+1 равно 2, но оно должны быть не меньше чем p-1. Отсюда получаем, что p=3.
Все ответы: (1,p),(2,2),(3,3)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.