Processing math: 50%

Математикадан 40-шы халықаралық олимпиада, 1999 жыл, Бухарест


n2p теңсіздігі орындалатындай және (p1)n+1 саны np1 --ге бөлінетіндей барлық (n,p) натурал сандар жұптарын табыңыздар. Мұндағы p — жай сан.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
8 года 2 месяца назад #

Заметим, что если n=1, то любые значения p подходят.

Пусть p=2. Тогда легко проверить, что n=1,2. Пусть p>2.

Заметим, что тогда (p1)n+1 нечётное, а значит n тоже нечетное(поэтому n<2p). Возьмём наименьший делитель числа n. Пусть он равен q. Заметим, что (p-1)^{2n} \equiv 1 \pmod {q}. Получаем, что показатель числа (p-1) по модулю q равен 2. Отсюда два случая:

1) p \equiv 0 \pmod {q}

2) p \equiv 2 \pmod {q}

Заметим, что если 2-ой случай выполняется, то (p-1)^n+1 \equiv 0 \pmod {q} ,что невозможно, так как n нечетное. Значит n=pa ,но n<2p. Значит n=p.

По LTE мы знаем, что степень вхождения числа p в число (p-1)^p+1 равно 2, но оно должны быть не меньше чем p-1. Отсюда получаем, что p=3.

Все ответы: (1,p),(2,2),(3,3)