40-я Международная Математическая OлимпиадаРумыния, Бухарест, 1999 год

Пусть $n$ — целое число, $n\ge 2$.
а) Найдите наибольшее число $C$ такое, что неравенство $$\sum\limits_{i < j}{{{x}_{i}}}{{x}_{j}}\left( x_{i}^{2}+x_{j}^{2} \right)\le C{{\left( \sum\limits_{i}{{{x}_{i}}} \right)}^{4}} \quad \quad (1)$$ выполняется для всех неотрицательных действительных чисел ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, $\ldots $, ${{x}_{n}}$.
б) Для найденного числа $C$ определите условие, при котором неравенство (1) обращается в равенство.

Комментарий/решение

Простая алгебра покажет что если взять $0 \leq x_1 \leq x_2 … \leq x_n$, и заменить пару $(x_1, x_2)$ на $(0, x_1+x_2)$ тогда $LHS$ не уменьшится, тем самым можно делать такую замену до тех пор пока $n=2$. Тогда у нас:

$C(a+b)^4 \geq ab(a^2+b^2)$

По ам гм у нас $(a+b)^4=(a^2+b^2+2ab)^2 \geq 8ab(a+b)$. И достигается оно при $a=b$, то есть $C=1/8$.