Математикадан 40-шы халықаралық олимпиада, 1999 жыл, Бухарест

$n\ge 2$ болатын $n$ бүтін саны берілсін.
а) Барлық теріс емес ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, $\ldots $, ${{x}_{n}}$ нақты сандары үшін $$\sum\limits_{i < j}{{{x}_{i}}}{{x}_{j}}\left( x_{i}^{2}+x_{j}^{2} \right)\le C{{\left( \sum\limits_{i}{{{x}_{i}}} \right)}^{4}} \qquad (1)$$ теңсіздігі орындалатындай $C$ ең үлкен мәнін табыңыздар.
б) Табылған $C$ мәні үшін (1) теңсіздігі теңдікке айналатындай шартты анықтаңыз.

Комментарий/решение

Простая алгебра покажет что если взять $0 \leq x_1 \leq x_2 … \leq x_n$, и заменить пару $(x_1, x_2)$ на $(0, x_1+x_2)$ тогда $LHS$ не уменьшится, тем самым можно делать такую замену до тех пор пока $n=2$. Тогда у нас:

$C(a+b)^4 \geq ab(a^2+b^2)$

По ам гм у нас $(a+b)^4=(a^2+b^2+2ab)^2 \geq 8ab(a+b)$. И достигается оно при $a=b$, то есть $C=1/8$.