Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Сколько вершин может иметь выпуклый многоугольник, если известно, что число его диагоналей делится на число его вершин?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Определите все тройки действительных чисел

$x$ ,

$y$ и

$z$ , для которых одновременно выполнены три равенства

$x+\dfrac{2}{x}=2y$ ,

$y+\dfrac{2}{y}=2z$ ,

$z+\dfrac{2}{z}=2x$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. На дуге

$AC$ окружности, описанной около правильного треугольника

$ABC$ , взята точка

$M$ ;

$P$ — середина этой дуги. Пусть

$N$ — середина хорды

$BM$ ,

$K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки

$P$ на

$MC$ . Докажите, что треугольник

$ANK$ — правильный.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть

$a$ ,

$b$ и

$c$ — неотрицательные числа. Докажите, что

$ab+bc+ca \geq \sqrt {3abc(a+b+c)}.$
комментарий/решение(1)

Задача №5. В треугольнике

$ABC$ вписанная окружность касается сторон

$BC$ ,

$CA$ и

$AB$ в точках

$A_1$ ,

$B_1$ и

$C_1$ соответственно. Обозначим точки пересечения высот треугольников

$AC_1B_1$ и

$CA_1B_1$ через

$H_1$ и

$H_2$ . Докажите, что четырехугольник

$AH_1H_2C$ — вписанный.
комментарий/решение(1)

Задача №6. На координатной плоскости нарисовали квадрат с вершинами в точках

$(0, 0)$ ,

$(0, n)$ ,

$(n, 0)$ ,

$(n, n)$ , где

$n$ — натуральное число. Сколько существует прямоугольников внутри данного квадрата, со сторонами параллельными осям координат и имеющих целочисленные вершины?
комментарий/решение(1)