Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 11 класс

В треугольнике $ABC$ вписанная окружность касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Обозначим точки пересечения высот треугольников $AC_1B_1$ и $CA_1B_1$ через $H_1$ и $H_2$. Докажите, что четырехугольник $AH_1H_2C$ — вписанный.

Комментарий/решение

$IB_1 \bot AC, C_1H_1 \bot AC \Rightarrow IB_1||C_1H_1; B_1H_1 \bot AB, IC_1 \bot AB \Rightarrow B_1H_1||IC_1$, то есть $IC_1H_1B_1$ - ромб. Так же $IA_1||B_1H_2, IB_1||A_1H_2$, тогда $IA_1H_2B_1$ - ромб. $IB_1=H_1B_1=H_2B_1$. $\angle BCA=2\gamma$. $\angle IH_1H_2=\angle A_1B_1H_2=90-B_1A_1C=90-(90-\gamma)=\gamma=\angle H_2CA$, тогда $AH_1H_2C$ - вписан.