қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 11 класс
Задача №1. Сколько вершин может иметь выпуклый многоугольник, если известно, что число его диагоналей делится на число его вершин?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Определите все тройки действительных чисел $x$, $y$ и $z$, для которых одновременно выполнены три равенства $x+\dfrac{2}{x}=2y$, $y+\dfrac{2}{y}=2z$, $z+\dfrac{2}{z}=2x$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. На дуге $AC$ окружности, описанной около правильного треугольника $ABC$, взята точка $M$; $P$ — середина этой дуги. Пусть $N$ — середина хорды $BM$, $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на $MC$. Докажите, что треугольник $ANK$ — правильный.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть $a$, $b$ и $c$ — неотрицательные числа. Докажите, что $ab+bc+ca \geq \sqrt {3abc(a+b+c)}.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В треугольнике $ABC$ вписанная окружность касается сторон
$BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно.
Обозначим точки пересечения высот треугольников $AC_1B_1$ и $CA_1B_1$ через $H_1$ и $H_2$. Докажите, что четырехугольник $AH_1H_2C$ — вписанный.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. На координатной плоскости нарисовали квадрат с вершинами в точках
$(0, 0)$, $(0, n)$, $(n, 0)$, $(n, n)$, где $n$ — натуральное число. Сколько существует прямоугольников внутри данного квадрата, со сторонами параллельными осям координат и имеющих целочисленные вершины?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)