қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. Диагональдар саны төбелер санына бөлінетін дөңес көпбұрыштың қанша төбесі болуы мүмкін.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Берілген $x+\dfrac{2}{x}=2y$, $y+\dfrac{2}{y}=2z$, $z+\dfrac{2}{z}=2x$ теңдіктерін қанағаттандыратын барлық $x$, $y$, $z$ нақты сандарын тап.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Дұрыс $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберінің $AC$ доғасында $M$ нүктесі алынған, ал $P$ нүктесі осы доғаның ортасы. $N$ нүктесі $BM$ хордасының ортасы, $P$ нүктесінен $MC$-ға түсірілген перпендикуляр табаны $K$ нүктесі болсын. $ANK$ үшбұрышы тең қабырғалы екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Кез-келген $a$, $b$, $c$ — теріс емес сандар үшін келесі теңсіздікті дәлелде: $ab+bc+ca \ge \sqrt{3abc(a+b+c)}.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының $BC$, $AC$, $AB$ қабырғаларының іштей сызылған шеңберімен жанасу нүктелерін сәйкесінше $A_1$, $B_1$, $C_1$ арқылы белгілейік. $BC_1A_1$ и $CA_1B_1$ үшбұрыштарының ортоцентрлерін сәйкесінше $H_1$, $H_2$ нүктелері арқылы белгілейік. $BH_1H_2C$ төртбұрышына сырттай шеңбер сызуға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Төбелері $(0,0)$, $(0,n)$, $(n,0)$, $(n,n)$ болатын координата жазықтығында квадрат салынған, мұндағы $n$ — натурал сан. Кабырғалары координат осьтеріне параллель және төбелері бүтін болатындай осы квадрат ішінде қанша тіктөртбұрыш табылады.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)