Математикадан аудандық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Диагональдар саны төбелер санына бөлінетін дөңес көпбұрыштың қанша төбесі болуы мүмкін.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Берілген

$x+\dfrac{2}{x}=2y$ ,

$y+\dfrac{2}{y}=2z$ ,

$z+\dfrac{2}{z}=2x$ теңдіктерін қанағаттандыратын барлық

$x$ ,

$y$ ,

$z$ нақты сандарын тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Дұрыс

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберінің

$AC$ доғасында

$M$ нүктесі алынған, ал

$P$ нүктесі осы доғаның ортасы.

$N$ нүктесі

$BM$ хордасының ортасы,

$P$ нүктесінен

$MC$ -ға түсірілген перпендикуляр табаны

$K$ нүктесі болсын.

$ANK$ үшбұрышы тең қабырғалы екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Кез-келген

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — теріс емес сандар үшін келесі теңсіздікті дәлелде:

$ab+bc+ca \ge \sqrt{3abc(a+b+c)}.$
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының

$BC$ ,

$AC$ ,

$AB$ қабырғаларының іштей сызылған шеңберімен жанасу нүктелерін сәйкесінше

$A_1$ ,

$B_1$ ,

$C_1$ арқылы белгілейік.

$BC_1A_1$ и

$CA_1B_1$ үшбұрыштарының ортоцентрлерін сәйкесінше

$H_1$ ,

$H_2$ нүктелері арқылы белгілейік.

$BH_1H_2C$ төртбұрышына сырттай шеңбер сызуға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Төбелері

$(0,0)$ ,

$(0,n)$ ,

$(n,0)$ ,

$(n,n)$ болатын координата жазықтығында квадрат салынған, мұндағы

$n$ — натурал сан. Кабырғалары координат осьтеріне параллель және төбелері бүтін болатындай осы квадрат ішінде қанша тіктөртбұрыш табылады.
комментарий/решение(1)