Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 11 класс

На дуге $AC$ окружности, описанной около правильного треугольника $ABC$, взята точка $M$; $P$ — середина этой дуги. Пусть $N$ — середина хорды $BM$, $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на $MC$. Докажите, что треугольник $ANK$ — правильный.

Комментарий/решение

Докажем что $MN=CK$.

В треугольнике $PCK$ имеет место соотношение $CK=CP \cdot \sin(120^{\circ} - \angle ACM) = \dfrac{BC \cdot \sin(120^{\circ} - \angle ACM)}{ \sqrt{3}}$

в треугольнике $BCM$ сторона $BM=2MN$ $MN=\dfrac{BC \cdot \sin(60^{\circ}+\angle ACM)}{ \sqrt{3}}$

то есть $CK=MN$

Через так называемую теорему Помпею, следует что $AM+CM=BM$ учитывая вышеописанное равенство $AM-MK = MN $ .

Можно выразить каждую сторону треугольника $ANK$ через $MN,KM$ используя теорему косинусов

$NK^2=MN^2+KM^2+MN \cdot KM$ (использовали то что угол $120^{\circ}$)

$AN^2=(MN+KM)^2+MN^2-(MN+KM)MN = NK^2$

(угол $60^{\circ}$)

$AK^2=(MN+KM)^2+KM^2-(MN+KM)KM = NK^2 $

Откуда $NK=AN=AK$ .