Математикадан аудандық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 11 сынып

Дұрыс $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберінің $AC$ доғасында $M$ нүктесі алынған, ал $P$ нүктесі осы доғаның ортасы. $N$ нүктесі $BM$ хордасының ортасы, $P$ нүктесінен $MC$-ға түсірілген перпендикуляр табаны $K$ нүктесі болсын. $ANK$ үшбұрышы тең қабырғалы екенін дәлелде.

Комментарий/решение

Докажем что $MN=CK$.

В треугольнике $PCK$ имеет место соотношение $CK=CP \cdot \sin(120^{\circ} - \angle ACM) = \dfrac{BC \cdot \sin(120^{\circ} - \angle ACM)}{ \sqrt{3}}$

в треугольнике $BCM$ сторона $BM=2MN$ $MN=\dfrac{BC \cdot \sin(60^{\circ}+\angle ACM)}{ \sqrt{3}}$

то есть $CK=MN$

Через так называемую теорему Помпею, следует что $AM+CM=BM$ учитывая вышеописанное равенство $AM-MK = MN $ .

Можно выразить каждую сторону треугольника $ANK$ через $MN,KM$ используя теорему косинусов

$NK^2=MN^2+KM^2+MN \cdot KM$ (использовали то что угол $120^{\circ}$)

$AN^2=(MN+KM)^2+MN^2-(MN+KM)MN = NK^2$

(угол $60^{\circ}$)

$AK^2=(MN+KM)^2+KM^2-(MN+KM)KM = NK^2 $

Откуда $NK=AN=AK$ .