Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 11 класс

Определите все тройки действительных чисел $x$, $y$ и $z$, для которых одновременно выполнены три равенства $x+\dfrac{2}{x}=2y$, $y+\dfrac{2}{y}=2z$, $z+\dfrac{2}{z}=2x$.

Комментарий/решение

$$f(x)=x+\frac{1}{x}$$

$$g(x)=2x$$

$$ \left\{ \begin{gathered} f(x)=g(y)\\ f(y) = g(z)\\ f(z)=g(x) \\ \end{gathered} \right.$$

$$ f(x)=V(x)+L(x) \Rightarrow L(x)=x \Rightarrow V(x)=\frac{1}{x}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} V(x)+L(x)=g(y)\\ V(y)+L(y)= g(z) \\ V(z)+L(z)=g(x)\\ \end{gathered} \right.\Rightarrow$$

$$\Rightarrow V(x)+V(y)+V(z)+L(x)+L(y)+L(z)=g(y)+g(z)+g(x) \Rightarrow $$ $$\Rightarrow V(x)+V(y)+V(z)+L(x+y+z)=g(x+y+z) \Rightarrow [g(x)-L(x)=L(x)]\Rightarrow V(x)+V(y)+V(z)=L(x+y+z)\Rightarrow x=y=z$$

$$ \frac{x^2+2}{x}=2x\Rightarrow |x|=\sqrt{2}$$

$$(-\sqrt{2};-\sqrt{2};-\sqrt{2}),(\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{2})$$