Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2015 жыл

Есеп №1. $n\times n$ шахмат тақтасында (әр шаршыда бір фишкадан артық емес) кез келген екі горизонтальда фишкалар саны тең болатындай, ал кез келген екі вертикальда фишкалар саны тең болматындай орналастыруға мүмкін болатындай $n$ санының барлық натурал мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $BC < AB$ болатындай $ABC$ үшбұрышы берілсін. $BA$, $AC$ кесінділерінің орталары сәйкесінше $E$, $D$ болсын. $DF=2DE$ болатындай $DE$ сәулесінде $F$ нүктесі алынсын. $BC$ кесіндісінің кез келген $A_1$ нүктесі үшін $2FA_1 < AB+BC+CA$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Автобусқа отырған әр жүргінші алты таңбалы нөмері бар билет алды және де барлық билеттердің нөмірі тізбектес сандар. Егер жүргіншілердің 1/14 бөлігінде билет нөмірінде 7 цифры кездескен болса, онда автобуста ең көп дегенде қанша жүргінші болуы мүмкін?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Егер санның ондық жазылуында цифрлары кемімейтін ретпен орналасқан болса, онда ол натурал сан монотонды деп аталады. Мысалы 1112257788889 саны монотонды сан. Кез келген $n$ натурал саны үшін қандай да бір монотонды санның квадраты болатын $n$ цифрлардан тұратын монотонды сан бар екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---

Есеп №5. 2015 әртүрлі теңбүйірлі үшбұрыштарға кесілетін тең бүйірлі емес үшбұрыш бола ма?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. Теңдеулер жүйесін шешіңіздер: $\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} 2x\left( 1+y+{{y}^{2}} \right)=3\left( 1+{{y}^{4}} \right), \\ 2y\left( 1+z+{{z}^{2}} \right)=3\left( 1+{{z}^{4}} \right), \\ \end{matrix} \\ 2z\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)=3\left( 1+{{x}^{4}} \right). \\ \end{matrix} \right.$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №7. Кейбір натурал $n \leq 305$ үшін $n^4+7(7+2n^2)$ саны $2m$ санына бөлінетіндей натурал ең үлкен $m$ санын табыңыздар.
комментарий/решение(5)

---

Есеп №8. $ABC$ үшбұрышы берілсін. $AB$, $BC$, $CA$ қабырғаларында сәйкесінше $C_1$, $A_1$, $B_1$ нүктелері белгіленген. $E$ нүктесі — $A_1$ нүктесінен $B_1C_1$ түзуіне түсірілген биіктіктің табаны, $EA_1$ кесіндісі — $BEC$ үшбұрышының биссектрисасы екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---