Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2015 год

Найдите все натуральные числа $n$, для которых можно расставить фишки на клетках шахматной доски $n\times n$ (в каждой клетке — не более одной фишки), чтобы на любых двух горизонталях фишек было поровну, а на любых двух вертикалях — не поровну?

Комментарий/решение

Пусть на каждой горизонтали расставлено $m$ фишек, тогда всего $mn$ фишек. Очевидно, сумма фишек на горизонталях равна сумме на вертикалях. Так как суммы фишек на вертикалях различны, то получим:

$0+1+2+\ldots+n-1 \leqslant mn \leqslant 1+2+3+\ldots+n$

$\cfrac{n(n-1)}{2} \leqslant mn \leqslant \cfrac{n(n+1)}{2}$

$\cfrac{n-1}{2} \leqslant m \leqslant \cfrac{n+1}{2}$

$m=\left\{\cfrac{n-1}{2},\cfrac{n}{2},\cfrac{n+1}{2}\right\}$

Получается, для любого натурального $n$ можно подобрать натуральное $m$, удовлетворяющее условиям задачи.