Processing math: 40%

Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2015 год


Найдите все натуральные числа n, для которых можно расставить фишки на клетках шахматной доски n×n (в каждой клетке — не более одной фишки), чтобы на любых двух горизонталях фишек было поровну, а на любых двух вертикалях — не поровну?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
9 года назад #

Пусть на каждой горизонтали расставлено m фишек, тогда всего mn фишек. Очевидно, сумма фишек на горизонталях равна сумме на вертикалях. Так как суммы фишек на вертикалях различны, то получим:

0+1+2++n1

\cfrac{n(n-1)}{2} \leqslant mn \leqslant \cfrac{n(n+1)}{2}

\cfrac{n-1}{2} \leqslant m \leqslant \cfrac{n+1}{2}

m=\left\{\cfrac{n-1}{2},\cfrac{n}{2},\cfrac{n+1}{2}\right\}

Получается, для любого натурального n можно подобрать натуральное m, удовлетворяющее условиям задачи.