Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2015 год
Найдите все натуральные числа n, для которых можно расставить фишки на клетках шахматной доски n×n (в каждой клетке — не более одной фишки), чтобы на любых двух горизонталях фишек было поровну, а на любых двух вертикалях — не поровну?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть на каждой горизонтали расставлено m фишек, тогда всего mn фишек. Очевидно, сумма фишек на горизонталях равна сумме на вертикалях. Так как суммы фишек на вертикалях различны, то получим:
0+1+2+…+n−1⩽
\cfrac{n(n-1)}{2} \leqslant mn \leqslant \cfrac{n(n+1)}{2}
\cfrac{n-1}{2} \leqslant m \leqslant \cfrac{n+1}{2}
m=\left\{\cfrac{n-1}{2},\cfrac{n}{2},\cfrac{n+1}{2}\right\}
Получается, для любого натурального n можно подобрать натуральное m, удовлетворяющее условиям задачи.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.