Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2015 год

Задача №1. Найдите все натуральные числа

$n$ , для которых можно расставить фишки на клетках шахматной доски

$n\times n$ (в каждой клетке — не более одной фишки), чтобы на любых двух горизонталях фишек было поровну, а на любых двух вертикалях — не поровну?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть дан треугольник

$ABC$ ,

$BC < AB$ . Пусть

$E$ ,

$D$ середины отрезков

$BA$ ,

$AC$ соответственно. На луче

$DE$ выбрана точка

$F$ так, что

$DF=2DE$ . Докажите, что

$2FA_1 < AB+BC+CA$ , где

$A_1$ — произвольная точка отрезка

$BC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Каждый из пассажиров автобуса получил билет с шестизначным номером, причем все номера билетов — последовательные числа. Какое наибольшее количество пассажиров могло ехать в автобусе, если у ровно у 1/14 из них в номере билета есть цифра 7.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Натуральное число называется монотонным, если в его десятичной записи цифры расположены в неубывающем порядке. Например, число 1112257788889 является монотонным. Докажите, что для всякого натурального

$n$ существует монотонное число из

$n$ цифр, которое является квадратом некоторого монотонного числа.
комментарий/решение

Задача №5. Существует ли неравнобедренный треугольник, который можно разрезать на 2015 различных равнобедренных треугольников?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Решите систему уравнений

$\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} 2x\left( 1+y+{{y}^{2}} \right)=3\left( 1+{{y}^{4}} \right), \\ 2y\left( 1+z+{{z}^{2}} \right)=3\left( 1+{{z}^{4}} \right), \\ \end{matrix} \\ 2z\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)=3\left( 1+{{x}^{4}} \right). \\ \end{matrix} \right.$
комментарий/решение(1)

Задача №7. Найдите наибольшее натуральное число

$m$ такое, что число

$n^4+7(7+2n^2$ ) делится на

$2m$ при некотором натуральном

$n \leq 305$ .
комментарий/решение(5)

Задача №8. Пусть дан треугольник

$ABC$ . На сторонах

$AB$ ,

$BC$ ,

$CA$ отмечены точки

$C_1$ ,

$A_1$ ,

$B_1$ соответственно. Пусть

$E$ — основание высоты, опущенной из точки

$A_1$ на прямую

$B_1C_1$ . Докажите, что

$EA_1$ является биссектрисой треугольника

$BEC$ .
комментарий/решение(1)